En matemáticas, y más precisamente en la teoría de semigrupos , un semigrupo nulo o semigrupo nilpotente es un semigrupo cuyos elementos son nilpotentes .
Definiciones
Formalmente, un semigrupo S es un nilsemigroup si:
- S contiene 0 y
- para cada elemento a ∈ S , existe un entero positivo k tal que a k = 0 .
Nilsemigroups finitos
Existen definiciones equivalentes para semigrupo finito. Un semigrupo finito S es nilpotente si, de manera equivalente:
- para cada , dónde es la cardinalidad de S .
- El cero es el único idempotente de S .
Ejemplos de
El semigrupo trivial de un solo elemento es trivialmente un nilsemigroup.
El conjunto de matriz triangular estrictamente superior , con multiplicación de matrices, es nilpotente.
Dejar un intervalo acotado de números reales positivos. Para x , y pertenecientes a I , defina como . Ahora mostramos quees un nilsemigroup cuyo cero es n . Para cada número natural k , kx es igual a. Para k al menos igual a, kx es igual a n . Este ejemplo se generaliza para cualquier intervalo acotado de un semigrupo ordenado de Arquímedes .
Propiedades
Un nilsemigroup no trivial no contiene un elemento de identidad. De ello se deduce que el único monoide nilpotente es el monoide trivial.
La clase de nilsemigroups es:
- cerrado emprendimiento tomando subsemigrupos
- cocientes cerrados tomando
- cerrado bajo productos finitos
- pero no se cierra bajo producto directo arbitrario . De hecho, tome el semigrupo, dónde se define como arriba. El semigrupo S es un producto directo de nilsemigroups, sin embargo, no contiene ningún elemento nilpotente.
De ello se deduce que la clase de nilsemigroups no es una variedad de álgebra universal . Sin embargo, el conjunto de nilsemigrupos finitos es una variedad de semigrupos finitos . La variedad de nilsemigroups finitos se define por las igualdades de profinitas.
Referencias
- Pin, Jean-Éric (15 de junio de 2018). Fundamentos matemáticos de la teoría de los autómatas (PDF) . pag. 198.
- Grillet, PA (1995). Semigrupos . Prensa CRC . pag. 110. ISBN 978-0-8247-9662-4.