En álgebra universal , una variedad de álgebras o clase de ecuaciones es la clase de todas las estructuras algebraicas de una firma dada que satisfacen un conjunto dado de identidades . Por ejemplo, los grupos forman una variedad de álgebras, al igual que los grupos abelianos , los anillos , los monoides, etc. De acuerdo con el teorema de Birkhoff, una clase de estructuras algebraicas de la misma firma es una variedad si y solo si está cerrada bajo la toma de imágenes homomórficas , subálgebras y productos (directos). En el contexto de la teoría de categorías , una variedad de álgebras, junto con sus homomorfismos, forman una categoría ; generalmente se denominan categorías algebraicas finitarias .
Una covariedad es la clase de todas las estructuras coalgebraicas de una firma determinada.
Terminología
Una variedad de álgebras no debe confundirse con una variedad algebraica , que significa un conjunto de soluciones a un sistema de ecuaciones polinomiales. Son formalmente bastante distintos y sus teorías tienen poco en común.
El término "variedad de álgebras" se refiere a álgebras en el sentido general de álgebra universal ; también hay un sentido más específico del álgebra, a saber, como álgebra sobre un campo , es decir, un espacio vectorial equipado con una multiplicación bilineal.
Definición
Una firma (en este contexto) es un conjunto, cuyos elementos se denominan operaciones , a cada uno de los cuales se le asigna un número natural (0, 1, 2, ...) llamado su aridad . Dada una firma y un set , cuyos elementos se denominan variables , una palabra es un árbol enraizado plano finito en el que cada nodo está etiquetado por una variable o una operación, de modo que cada nodo etiquetado por una variable no tiene ramas fuera de la raíz y cada nodo etiquetado por una operación tiene tantas ramas de la raíz como la aridad de . Una ley de ecuaciones es un par de tales palabras; escribimos el axioma que consta de las palabras y como .
Una teoría es una firma, un conjunto de variables y un conjunto de leyes ecuacionales. Cualquier teoría da una variedad de álgebras como sigue. Dada una teoría, un álgebra de consta de un conjunto junto con, para cada operación de con aridad , Una función tal que para cada axioma y cada asignación de elementos de a las variables en ese axioma, la ecuación sostiene que se da aplicando las operaciones a los elementos de como lo indican los árboles que definen y . Llamamos a la clase de álgebras de una teoría dadauna variedad de álgebras .
Sin embargo, en última instancia, más importante que esta clase de álgebras es la categoría de álgebras y homomorfismos entre ellas. Dadas dos álgebras de una teoría, decir y , un homomorfismo es una función tal que
para cada operación de aridad . Cualquier teoría da una categoría donde los objetos son álgebras de esa teoría y los morfismos son homomorfismos.
Ejemplos de
La clase de todos los semigrupos forma una variedad de álgebras de firma (2), lo que significa que un semigrupo tiene una única operación binaria. Una ecuación definitoria suficiente es la ley asociativa:
La clase de grupos forma una variedad de álgebras de firma (2,0,1), siendo las tres operaciones respectivamente multiplicación (binaria), identidad (nular, una constante) e inversión (unaria). Los axiomas familiares de asociatividad, identidad e inversa forman un conjunto adecuado de identidades:
La clase de anillos también forma una variedad de álgebras. La firma aquí es (2,2,0,0,1) (dos operaciones binarias, dos constantes y una operación unaria).
Si arreglamos un anillo específico R , podemos considerar la clase de módulos R izquierdos . Para expresar la multiplicación escalar con elementos de R , necesitamos una operación unaria para cada elemento de R. Si el anillo es infinito, tendremos infinitas operaciones, lo que está permitido por la definición de una estructura algebraica en el álgebra universal. Entonces también necesitaremos infinitas identidades para expresar los axiomas del módulo, lo que está permitido por la definición de una variedad de álgebras. Entonces, los módulos R de la izquierda forman una variedad de álgebras.
Los campos no no forman una variedad de álgebra; el requisito de que todos los elementos distintos de cero sean invertibles no puede expresarse como una identidad universalmente satisfecha. [ cita requerida ]
Los semigrupos cancelativos tampoco forman una variedad de álgebras, ya que la propiedad de cancelación no es una ecuación, es una implicación que no es equivalente a ningún conjunto de ecuaciones. Sin embargo, forman una cuasivariedad ya que la implicación que define la propiedad de cancelación es un ejemplo de una cuasi-identidad .
Teorema de Birkhoff
Dada una clase de estructuras algebraicas de la misma firma, podemos definir las nociones de homomorfismo, subálgebra y producto . Garrett Birkhoff demostró que una clase de estructuras algebraicas de la misma firma es una variedad si y solo si está cerrada bajo la toma de imágenes homomórficas, subálgebras y productos arbitrarios. [1] Este es un resultado de fundamental importancia para el álgebra universal y se conoce como teorema de Birkhoff o como teorema HSP . H , S y P representan, respectivamente, las operaciones de homomorfismo, subálgebra y producto.
La clase de álgebras que satisface algún conjunto de identidades se cerrará bajo las operaciones HSP. Probar lo contrario —las clases de álgebras cerradas bajo las operaciones HSP deben ser ecuacionales— es más difícil.
Usando el teorema de Birkhoff, podemos, por ejemplo, verificar la afirmación hecha anteriormente, que los axiomas de campo no se pueden expresar mediante ningún conjunto posible de identidades: el producto de los campos no es un campo, por lo que los campos no forman una variedad.
Subvariedades
Una subvariedad de una variedad de álgebras V es una subclase de V que tiene la misma firma que V y es en sí misma una variedad, es decir, está definida por un conjunto de identidades.
Observe que aunque cada grupo se convierte en un semigrupo cuando se omite la identidad como una constante (y / o se omite la operación inversa), la clase de grupos no forma una subvariedad de la variedad de semigrupos porque las firmas son diferentes. De manera similar, la clase de semigrupos que son grupos no es una subvariedad de la variedad de semigrupos. La clase de monoides que son grupos contiene y no contiene su subálgebra (más precisamente, submonoide) .
Sin embargo, la clase de grupos abelianos es una subvariedad de la variedad de grupos porque consiste en aquellos grupos que satisfacensin cambio de firma. Los grupos abelianos generados finitamente no forman una subvariedad, ya que según el teorema de Birkhoff no forman una variedad, ya que un producto arbitrario de grupos abelianos generados finitamente no se genera finitamente.
Visualización de una variedad V y sus homomorfismos como una categoría , una subvariedad U de V es una subcategoría completa de V , lo que significa que para cualquier objeto un , b en U , los homomorfismos de un a de b en U son exactamente las de un a de b en V .
Objetos libres
Suponga que V es una variedad no trivial de álgebras, es decir, V contiene álgebras con más de un elemento. Se puede demostrar que para cada conjunto S , la variedad V contiene un álgebra libre F S en S . Esto significa que hay un mapa de conjuntos inyectivos i : S → F S que satisface la siguiente propiedad universal : dada cualquier álgebra A en V y cualquier mapa k : S → A , existe un V -homomorfismo f único : F S → A tal que.
Esto generaliza las nociones de grupo libre , grupo abeliano libre , álgebra libre , módulo libre, etc. Tiene la consecuencia de que cada álgebra en una variedad es una imagen homomórfica de un álgebra libre.
Teoría de categorías
Si es una categoría algebraica finitaria (es decir, la categoría de una variedad de álgebras, con homomorfismos como morfismos), entonces el functor olvidadizo
tiene un adjunto izquierdo , es decir, el funtor que asigna a cada conjunto el álgebra libre en ese conjunto. Este adjunto es estrictamente monádico , en el sentido de que la categoríaes isomorfo a la categoría de Eilenberg-Moore para la mónada .
La mónada es así suficiente para recuperar la categoría algebraica finitaria, lo que permite la siguiente generalización. Se dice que una categoría es una categoría algebraica si es monádica sobre. Ésta es una noción más general que la de "categoría algebraica finitaria" porque admite categorías como CABA (álgebras atómicas booleanas completas) y CSLat (semirretículas completas) cuyas firmas incluyen operaciones infinitas. En esos dos casos, la firma es grande, lo que significa que no forma un conjunto, sino una clase adecuada, porque sus operaciones son de aridad ilimitada. La categoría algebraica de las álgebras sigma también tiene operaciones infinitas, pero su aridad es contable, por lo que su firma es pequeña (forma un conjunto).
Cada categoría algebraica finitaria es una categoría presentable localmente .
Pseudovariedad de álgebras finitas
Dado que las variedades están cerradas bajo productos directos arbitrarios, todas las variedades no triviales contienen álgebras infinitas. Se ha intentado desarrollar un análogo finitario de la teoría de variedades. Esto condujo, por ejemplo, a la noción de variedad de semigrupos finitos . Este tipo de variedad utiliza solo productos finales. Sin embargo, utiliza un tipo de identidades más general.
Una pseudovariedad se define generalmente como una clase de álgebras de una firma determinada, cerrada bajo la toma de imágenes homomórficas, subálgebras y productos directos finitarios. No todos los autores asumen que todas las álgebras de una pseudovariedad son finitas; si este es el caso, a veces se habla de una variedad de álgebras finitas . Para las pseudovariedades, no existe una contraparte finitaria general del teorema de Birkhoff, pero en muchos casos la introducción de una noción más compleja de ecuaciones permite obtener resultados similares. [2]
Las pseudovariedades son de particular importancia en el estudio de semigrupos finitos y, por tanto, en la teoría del lenguaje formal . El teorema de Eilenberg , a menudo denominado teorema de la variedad , describe una correspondencia natural entre variedades de lenguajes regulares y pseudovariedades de semigrupos finitos.
Ver también
- Cuasivariedad
Notas
- ^ Birkhoff, G. (octubre de 1935), "Sobre la estructura de las álgebras abstractas" (PDF) , Proceedings of the Cambridge Philosophical Society , 31 (4): 433–454, archivado desde el original (pdf) en 2018-03- 30
- ^ Por ejemplo, Banaschewski, B. (1983), "El teorema de Birkhoff para variedades de álgebras finitas", Algebra Universalis , Volumen 17 (1): 360-368, DOI 10.1007 / BF01194543
enlaces externos
Dos monografías disponibles gratis en línea:
- Stanley N. Burris y HP Sankappanavar (1981), Un curso de álgebra universal. Springer-Verlag. ISBN 3-540-90578-2 . [La prueba del teorema de Birkhoff está en II§11.]
- Peter Jipsen y Henry Rose (1992), Varieties of Lattices , Lecture Notes in Mathematics 1533. Springer Verlag. ISBN 0-387-56314-8 .