Distribución chi-cuadrado no central

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${\ Displaystyle k> 0 \,}$ grados de libertad

En teoría de probabilidad y estadística , la distribución chi-cuadrado no central (o distribución chi-cuadrado no central${\ Displaystyle \ chi ^ {2}}$ , distribución no central ) es una generalización no central de la distribución chi-cuadrado . A menudo surge en el análisis de potencia de pruebas estadísticas en las que la distribución nula es (quizás asintóticamente) una distribución chi-cuadrado; ejemplos importantes de tales pruebas son las pruebas de razón de verosimilitud .

Vamos a ser k independiente , normalmente distribuido variables aleatorias con medios y la unidad de varianzas. Entonces la variable aleatoria${\ Displaystyle (X_ {1}, X_ {2}, \ ldots, X_ {i}, \ ldots, X_ {k})}$ ${\ Displaystyle \ mu _ {i}}$

se distribuye de acuerdo con la distribución chi cuadrado no central. Tiene dos parámetros: que especifica el número de grados de libertad (es decir, el número de ), y que está relacionado con la media de las variables aleatorias por:${\ Displaystyle k}$${\ Displaystyle X_ {i}}$${\ Displaystyle \ lambda}$${\ Displaystyle X_ {i}}$

${\ Displaystyle \ lambda}$a veces se denomina parámetro de no centralidad . Tenga en cuenta que algunas referencias se definen de otras formas, como la mitad de la suma anterior o su raíz cuadrada.${\ Displaystyle \ lambda}$

Esta distribución surge en la estadística multivariante como una derivada de la distribución normal multivariante . Mientras que la distribución central de chi-cuadrado es la norma al cuadrado de un vector aleatorio con distribución (es decir, la distancia al cuadrado desde el origen a un punto tomado al azar de esa distribución), el no central es la norma al cuadrado de un vector aleatorio con distribución. Aquí hay un vector cero de longitud k , y es la matriz identidad de tamaño k .${\ Displaystyle N (0_ {k}, I_ {k})}$${\ Displaystyle \ chi ^ {2}}$${\ Displaystyle N (\ mu, I_ {k})}$${\ Displaystyle 0_ {k}}$${\ Displaystyle \ mu = (\ mu _ {1}, \ ldots, \ mu _ {k})}$${\ Displaystyle I_ {k}}$

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