En matemáticas , más específicamente álgebra abstracta y teoría de anillos , un anillo no conmutativo es un anillo cuya multiplicación no es conmutativa ; es decir, existen a y b en R con a · b ≠ b · a . Muchos autores usan el término anillos no conmutativos para referirse a anillos que no son necesariamente conmutativos y, por lo tanto, incluyen anillos conmutativos en su definición. Álgebra no conmutativaes el estudio de resultados que se aplican a anillos que no requieren ser conmutativos. Muchos resultados importantes en el campo del álgebra no conmutativa se aplican a los anillos conmutativos como casos especiales.
Aunque algunos autores no asumen que los anillos tienen una identidad multiplicativa, en este artículo hacemos esa suposición a menos que se indique lo contrario.
Comenzando con los anillos de división que surgen de la geometría, el estudio de los anillos no conmutativos se ha convertido en un área importante del álgebra moderna. La teoría y exposición de los anillos no conmutativos fue ampliada y refinada en los siglos XIX y XX por numerosos autores. Una lista incompleta de dichos colaboradores incluye a E. Artin , Richard Brauer , PM Cohn , WR Hamilton , IN Herstein , N. Jacobson , K. Morita , E. Noether , Ø. Mineral y otros.
Debido a que los anillos no conmutativos son una clase de anillos mucho más grande que los anillos conmutativos, su estructura y comportamiento se comprenden menos. Se ha trabajado mucho en la generalización exitosa de algunos resultados de anillos conmutativos a anillos no conmutativos. Una diferencia importante entre los anillos que son y no son conmutativos es la necesidad de considerar por separado los ideales de la derecha y los ideales de la izquierda . Es común que los teóricos de anillos no conmutativos impongan una condición en uno de estos tipos de ideales sin exigir que se cumpla para el lado opuesto. Para anillos conmutativos, la distinción izquierda-derecha no existe.
Un anillo de división, también llamado campo sesgado, es un anillo en el que es posible la división . Específicamente, es un anillo distinto de cero [1] en el que cada elemento distinto de cero a tiene un inverso multiplicativo , es decir, un elemento x con a · x = x · a = 1 . Dicho de otra manera, un anillo es un anillo de división si y solo si el grupo de unidades es igual al conjunto de todos los elementos distintos de cero.
Los anillos de división difieren de los campos solo en que no se requiere que su multiplicación sea conmutativa . Sin embargo, según el pequeño teorema de Wedderburn, todos los anillos de división finitos son campos conmutativos y, por lo tanto , finitos . Históricamente, los anillos de división a veces se denominaban campos, mientras que los campos se denominaban "campos conmutativos".