En la filosofía de las matemáticas , una prueba no encuestable es una prueba matemática que se considera inviable para que la verifique un matemático humano y, por lo tanto, tiene una validez controvertida . El término fue acuñado por Thomas Tymoczko en 1979 en la crítica de Kenneth Appel y Wolfgang Haken 's asistida por ordenador prueba del teorema de los cuatro colores , y desde entonces ha sido aplicado a otros argumentos, sobre todo aquellos con excesiva división caso y / o con porciones enviados por un programa de computadora difícil de verificar. La capacidad de encuesta sigue siendo una consideración importante enmatemáticas computacionales .
El argumento de Tymoczko
Tymoczko argumentó que tres criterios determinan si un argumento es una prueba matemática:
- Convencencia , que se refiere a la capacidad de la prueba para persuadir a un demostrador racional de su conclusión;
- Surveyability , que se refiere a la accesibilidad de la prueba para la verificación por parte de miembros de la comunidad matemática humana; y
- Formalizabilidad , que se refiere a la apelación de la prueba a relaciones lógicas entre conceptos para fundamentar su argumento. [1]
En opinión de Tymoczko, la prueba de Appel-Haken falló en el criterio de encuestabilidad, argumentó, sustituyendo el experimento por la deducción :
... si aceptamos el [Teorema de los cuatro colores] como un teorema, nos comprometemos a cambiar el sentido de "teorema" o, más concretamente, a cambiar el sentido del concepto subyacente de "prueba".
... [el] uso de computadoras en matemáticas, como en el [Teorema de los cuatro colores], introduce experimentos empíricos en las matemáticas. Ya sea que elijamos o no considerar el [Teorema de los cuatro colores] como probado, debemos admitir que la prueba actual no es una prueba tradicional, ni una deducción a priori de un enunciado a partir de premisas. Es una prueba tradicional con una laguna, o laguna, que se llena con los resultados de un experimento bien pensado.- Thomas Tymoczko, "El problema de los cuatro colores y su significado filosófico" [1]
Sin capacidad de vigilancia, una prueba puede cumplir su primer propósito de convencer al lector de su resultado y, sin embargo, fracasar en su segundo propósito de iluminar al lector sobre por qué ese resultado es verdadero: puede desempeñar el papel de una observación más que de un argumento. [2] [3]
Esta distinción es importante porque significa que las pruebas no encuestables exponen las matemáticas a un potencial de error mucho mayor. Especialmente en el caso en el que la falta de vigilancia se debe al uso de un programa de computadora (que puede tener errores ), especialmente cuando ese programa no se publica, la conveniencia puede verse afectada como resultado. [3] Como escribió Tymoczko:
Supongamos que alguna supercomputadora se puso a trabajar en la consistencia de la aritmética de Peano y reportó una prueba de inconsistencia , una prueba que era tan larga y compleja que ningún matemático podría entenderla más allá de los términos más generales. ¿Podríamos tener suficiente fe en las computadoras para aceptar este resultado, o diríamos que la evidencia empírica de su confiabilidad no es suficiente?
- Thomas Tymoczko, "El problema de los cuatro colores y su importancia matemática" [1]
Contraargumentos a las afirmaciones de Tymoczko de no encuestabilidad
Sin embargo, la opinión de Tymoczko es refutada por los argumentos de que las pruebas difíciles de examinar no son necesariamente tan inválidas como las pruebas imposibles de examinar.
Paul Teller afirmó que la capacidad de vigilancia era una cuestión de grado y dependiente del lector, no algo que una prueba tiene o no tiene. Como las pruebas no se rechazan cuando los estudiantes tienen problemas para entenderlas, Teller argumenta, tampoco deben rechazarse las pruebas (aunque pueden ser criticadas) simplemente porque a los matemáticos profesionales les resulta difícil seguir el argumento. [4] [3] (Teller no estuvo de acuerdo con la evaluación de Tymoczko de que "[El teorema de los cuatro colores] no ha sido verificado por los matemáticos, paso a paso, como se han verificado todas las demás pruebas. De hecho, no se puede verificar de esa manera". )
Un argumento similar es que la división de casos es un método de prueba aceptado, y la prueba de Appel-Haken es solo un ejemplo extremo de división de casos. [2]
Contramedidas contra la no encuestabilidad
Por otro lado, el punto de Tymoczko de que las pruebas deben ser al menos posibles de inspeccionar y que es menos probable que los errores en las pruebas difíciles de inspeccionar caigan en el escrutinio generalmente no se cuestiona; en cambio, se han sugerido métodos para mejorar la capacidad de vigilancia, especialmente de las pruebas asistidas por computadora. Una de las primeras sugerencias fue la de la paralelización: la tarea de verificación podría dividirse entre muchos lectores, cada uno de los cuales podría examinar una parte de la prueba. [5] Pero la práctica moderna, que Flyspeck hizo famosa , es convertir las partes dudosas de una prueba en un formalismo restringido y luego verificarlas con un verificador de pruebas que está disponible para su estudio. De hecho, la prueba de Appel-Haken ha sido así verificada. [6]
No obstante, la verificación automatizada aún no ha tenido una adopción generalizada. [7]
Referencias
- ↑ a b c Tymoczko, Thomas (febrero de 1979). "El problema de los cuatro colores y su significado filosófico". La Revista de Filosofía . 76 (2): 57–83. doi : 10.2307 / 2025976 . JSTOR 2025976 .
- ^ a b Bonnie Gold y Roger Simons. Prueba y otros dilemas: matemáticas y filosofía.
- ^ a b c Giandomenico Sica. Ensayos sobre los fundamentos de la matemática y la lógica. Volúmen 1.
- ^ Paul Teller. "Prueba de computadora". La Revista de Filosofía. 1980.
- ^ Neil Tennant. "La Doma del Verdadero". 1997.
- ^ Julie Rehmeyer. "Cómo (realmente) confiar en una prueba matemática". Noticias de ciencia. https://www.sciencenews.org/article/how-really-trust-mathematical-proof . Consultado el 14 de noviembre de 2008.
- ^ Freek Wiedijk, El Manifiesto QED revisado , 2007