Anillo de polinomio torcido

En matemáticas , un polinomio torcido es un polinomio sobre un campo de característica en la variable que representa el mapa de Frobenius . A diferencia de los polinomios normales, la multiplicación de estos polinomios no es conmutativa , pero cumple la regla de conmutación ${\ estilo de visualización p}$ ${\ estilo de visualización \ tau}$ $x\mapsto x^{p}$

Sobre un campo infinito, el anillo de polinomio torcido es isomorfo al anillo de polinomios aditivos , pero donde la multiplicación de este último se da por composición en lugar de la multiplicación habitual. Sin embargo, a menudo es más fácil de calcular en el anillo polinómico torcido; esto se puede aplicar especialmente en la teoría de los módulos de Drinfeld .

Sea un campo de característica . El anillo de polinomio torcido se define como el conjunto de polinomios en la variable y coeficientes en . Está dotado de una estructura de anillo con la adición habitual, pero con una multiplicación no conmutativa que se puede resumir con la relación para . La aplicación repetida de esta relación produce una fórmula para la multiplicación de dos polinomios torcidos cualesquiera. $k$ $p$ $k\{\tau \}$ $\tau$ $k$ $\tau x=x^{p}\tau$ $x\in k$

define un homomorfismo de anillos que envía un polinomio torcido a un polinomio aditivo. Aquí, la multiplicación del lado derecho viene dada por la composición de polinomios. Por ejemplo

usando el hecho de que en característica tenemos el sueño del estudiante de primer año . $p$ $(x+y)^{p}=x^{p}+y^{p}$

El homomorfismo es claramente inyectivo, pero es sobreyectivo si y solo si es infinito. El fallo de la sobreyectividad cuando es finita se debe a la existencia de polinomios distintos de cero que inducen la función cero en (por ejemplo, sobre el campo finito con elementos). ^[^{cita requerida}^] $k$ $k$ $k$ $x^{q}-x$ $q$