En matemáticas , los polinomios aditivos son un tema importante en la teoría de números algebraica clásica .
Definición
Sea k un campo de característica p , con p un número primo . Un polinomio P ( x ) con coeficientes en k se llama polinomio aditivo , o polinomio de Frobenius , si
como polinomios en una y b . Es equivalente a suponer que esta igualdad se cumple para todos a y b en algún campo infinito que contenga k , como su cierre algebraico.
Ocasionalmente se usa absolutamente aditivo para la condición anterior, y aditivo se usa para la condición más débil de que P ( a + b ) = P ( a ) + P ( b ) para todos a y b en el campo. Para campos infinitos, las condiciones son equivalentes, pero para campos finitos no lo son, y la condición más débil es la "incorrecta" y no se comporta bien. Por ejemplo, sobre un campo de orden q, cualquier múltiplo P de x q - x satisfará P ( a + b ) = P ( a ) + P ( b ) para todos a y b en el campo, pero normalmente no será ( absolutamente) aditivo.
Ejemplos de
El polinomio x p es aditivo. De hecho, para cualquier a y b en el cierre algebraico de k uno tiene por el teorema del binomio
Como p es primo, para todo n = 1, ..., p −1 el coeficiente binomial es divisible por p , lo que implica que
como polinomios en una y b .
De manera similar, todos los polinomios de la forma
son aditivos, donde n es un número entero no negativo .
La definición tiene sentido incluso si k es un campo de característica cero, pero en este caso los únicos polinomios aditivos son los de la forma ax para algunos a en k . [ cita requerida ]
El anillo de polinomios aditivos
Es bastante fácil demostrar que cualquier combinación lineal de polinomioscon coeficientes en k también es un polinomio aditivo. Una pregunta interesante es si existen otros polinomios aditivos, excepto estas combinaciones lineales. La respuesta es que estos son los únicos.
Se puede comprobar que si P ( x ) y M ( x ) son polinomios aditivos, también lo son P ( x ) + M ( x ) y P ( M ( x )). Esto implica que los polinomios aditivos forman un anillo bajo la adición y composición de polinomios. Este anillo se denota
Este anillo no es conmutativo a menos que k sea igual al campo(ver aritmética modular ). De hecho, considere los polinomios aditivos hacha y x p para un coeficiente de una de k . Para que puedan conmutar por debajo de la composición, debemos tener
o a p - a = 0. Esto es falso para a no una raíz de esta ecuación, es decir, para un exterior
El teorema fundamental de los polinomios aditivos
Sea P ( x ) un polinomio con coeficientes en k , ysea el conjunto de sus raíces. Suponiendo que las raíces de P ( x ) son distintas (es decir, P ( x ) es separable ), entonces P ( x ) es aditivo si y solo si el conjuntoforma un grupo con la adición de campo.
Ver también
Referencias
- David Goss , Estructuras básicas de la aritmética de campos de funciones , 1996, Springer, Berlín. ISBN 3-540-61087-1 .