El sueño del estudiante de primer año es un nombre que a veces se le da a la ecuación errónea ( x + y ) n = x n + y n , donde n es un número real (generalmente un número entero positivo mayor que 1). Los estudiantes principiantes comúnmente cometen este error al calcular la potencia de una suma de números reales, asumiendo falsamente que las potencias se distribuyen entre las sumas. [1] [2] Cuando n = 2, es fácil ver por qué esto es incorrecto: ( x + y ) 2 se puede calcular correctamente como x 2 + 2xy + y 2 usando distributividad (comúnmente conocido como método FOIL ). Para valores enteros positivos mayores de n , el resultado correcto viene dado por el teorema del binomio .
El nombre de "El sueño de primer año" también se refiere a veces hasta el teorema que dice que para un número primo p , si x e y son miembros de un anillo conmutativo de característica p , entonces ( x + y ) p = x P + y p . En este tipo de aritmética más exótica, el "error" en realidad da el resultado correcto, ya que p divide todos los coeficientes binomiales excepto el primero y el último, haciendo que todos los términos intermedios sean iguales a cero.
La identidad es realmente cierta en el contexto de la geometría tropical , donde la multiplicación se reemplaza por la suma y la suma se reemplaza por el mínimo . [3]
Ejemplos de
- , pero .
- generalmente no es igual . Por ejemplo,, que no es igual a 3 + 4 = 7 . En este ejemplo, el error se está cometiendo con el exponente n =1/2.
Característica principal
Cuando p es un número primo y x y y son miembros de un anillo conmutativo de característica p , a continuación, ( x + y ) p = x p + y p . Esto se puede ver mediante el examen de los factores primos de los coeficientes de dos términos: el n º coeficiente binomial es
El numerador es p factorial , que es divisible por p . Sin embargo, cuando 0 < n < p , ambos n ! y ( p - n )! son coprimos con p ya que todos los factores son menores que p y p es primo. Desde un coeficiente binomial es siempre un entero, el n ésimo coeficiente binomial es divisible por p y por lo tanto igual a 0 en el anillo. Nos quedamos con los coeficientes cero y p- ésimo, ambos iguales a 1, dando la ecuación deseada.
Así, en la característica p, el sueño del estudiante de primer año es una identidad válida. Este resultado demuestra que la exponenciación por p produce un endomorfismo , conocido como endomorfismo de Frobenius del anillo.
La exigencia de que la característica p sea un número primo es fundamental para la verdad del sueño del estudiante de primer año. Un teorema relacionado establece que si p es primo, entonces ( x + 1) p ≡ x p + 1 en el anillo polinomial . Este teorema es un hecho clave en las pruebas modernas de primalidad. [4]
Historia y nombres alternativos
La historia del término "sueño del estudiante de primer año" es algo confusa. En un artículo de 1940 sobre campos modulares , Saunders Mac Lane cita la observación de Stephen Kleene de que un conocimiento de ( a + b ) 2 = a 2 + b 2 en un campo de característica 2 corrompería a los estudiantes de primer año de álgebra . Esta puede ser la primera conexión entre "estudiante de primer año" y expansión binomial en campos de características positivas. [5] Desde entonces, los autores de textos de álgebra de pregrado tomaron nota del error común. La primera certificación real de la frase "el sueño de un estudiante de primer año" parece estar en el libro de texto de álgebra para graduados de Hungerford (1974), donde cita a McBrien. [6] Los términos alternativos incluyen " exponenciación de estudiantes de primer año ", utilizado en Fraleigh (1998). [7] El término "sueño de primer año" en sí mismo, en contextos no matemáticos, se registra desde el siglo XIX. [8]
Dado que la expansión de ( x + y ) n viene dada correctamente por el teorema del binomio , el sueño del estudiante de primer año también se conoce como el " teorema del binomio del niño " [4] o el " teorema del binomio del estudiante ".
Ver también
Referencias
- ^ Julio R. Bastida, Extensiones de campo y teoría de Galois , Addison-Wesley Publishing Company, 1984, p.8.
- ^ Fraleigh, John B., Un primer curso de álgebra abstracta , Addison-Wesley Publishing Company, 1993, p.453, ISBN 0-201-53467-3 .
- ^ Difusión DM (2018-02-23), Introduction to Tropical Algebraic Geometry (1 de 5) , consultado el 2019-06-11
- ^ a b A. Granville, es fácil determinar si un entero dado es primo , Bull. of the AMS, Volumen 42, Número 1 (septiembre de 2004), páginas 3–38.
- ^ Colin R. Fletcher, Revisión de artículos seleccionados sobre álgebra, editado por Susan Montgomery , Elizabeth W. Ralston y otros. XV, 537. 1977. ISBN 0-88385-203-9 (Asociación Matemática de América) , The Mathematical Gazette , vol. 62, No. 421 (octubre de 1978), The Mathematical Association. pag. 221.
- ^ Thomas W. Hungerford, Álgebra, Springer, 1974, p. 121; también en Álgebra abstracta: Introducción , 2ª edición. Brooks Cole, 12 de julio de 1996, pág. 366.
- ^ John B. Fraleigh, Un primer curso de álgebra abstracta , sexta edición, Addison-Wesley, 1998. págs. 262 y 438.
- ^ Búsqueda de Google libros 1800-1900 para "el sueño de primer año" : Miscelánea de Bentley, Volumen 26, p. 176 , 1849