Forma bilineal degenerada

Para otros usos, consulte Degeneración .

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En matemáticas , específicamente álgebra lineal , una forma bilineal degenerada f ( x , y ) en un espacio vectorial V es una forma bilineal tal que el mapa de V a V ^∗ (el espacio dual de V ) dado por v ↦ ( x ↦ f ( x , v )) no es un isomorfismo . Una definición equivalente cuando V es de dimensión finita es que tiene un valor no trivial.kernel : existen algunas x distintas de cero en V tal que

${\displaystyle f(x,y)=0\,}$ para todos ${\displaystyle y\in V.}$

Formas no generadas

Una forma no degenerada o no singular es una forma bilineal que no es degenerada, lo que significa que es un isomorfismo , o equivalentemente en dimensiones finitas, si y solo si${\displaystyle v\mapsto (x\mapsto f(x,v))}$

${\displaystyle f(x,y)=0\,}$porque todo implica eso .${\displaystyle y\in V}$${\displaystyle x=0}$

Los ejemplos más importantes de formas no degeneradas son los productos internos y las formas simplécticas . Las formas simétricas no degeneradas son generalizaciones importantes de productos internos, ya que a menudo todo lo que se requiere es que el mapa sea ​​un isomorfismo, no una positividad. Por ejemplo, una variedad con una estructura de producto interno en sus espacios tangentes es una variedad Riemanniana , mientras que al relajarla a una forma simétrica no degenerada se obtiene una variedad pseudo-Riemanniana .${\displaystyle V\to V^{*}}$

Usando el determinante

Si V es de dimensión finita, entonces, en relación con alguna base para V , una forma bilineal es degenerada si y solo si el determinante de la matriz asociada es cero, si y solo si la matriz es singular y , en consecuencia, las formas degeneradas también se llaman singulares. formas . Asimismo, una forma no degenerada es aquella para la que la matriz asociada no es singular y, en consecuencia, las formas no degeneradas también se denominan formas no singulares . Estas declaraciones son independientes de la base elegida.

Nociones relacionadas

Si para una forma cuadrática Q hay un vector v ∈ V tal que Q ( v ) = 0, entonces Q es una forma cuadrática isotrópica . Si Q tiene el mismo signo para todos los vectores, es una forma cuadrática definida o una forma cuadrática anisotrópica .

Existe la noción estrechamente relacionada de una forma unimodular y un emparejamiento perfecto ; estos coinciden en los campos, pero no en los anillos generales.

Ejemplos de

Los ejemplos más importantes de formas no degeneradas son los productos internos y las formas simplécticas . Las formas simétricas no degeneradas son generalizaciones importantes de productos internos, ya que a menudo todo lo que se requiere es que el mapa sea ​​un isomorfismo, no una positividad. Por ejemplo, una variedad con una estructura de producto interno en sus espacios tangentes es una variedad Riemanniana , mientras que al relajarla a una forma simétrica no degenerada se obtiene una variedad pseudo-Riemanniana .${\displaystyle V\to V^{*}}$

Dimensiones infinitas

Tenga en cuenta que en un espacio de dimensión infinita, podemos tener una forma bilineal f para la cual es inyectiva pero no sobreyectiva . Por ejemplo, en el espacio de funciones continuas en un intervalo acotado cerrado, la forma ${\displaystyle v\mapsto (x\mapsto f(x,v))}$

${\displaystyle f(\phi ,\psi )=\int \psi (x)\phi (x)dx}$

no es sobreyectiva: por ejemplo, el delta de Dirac funcional está en el espacio dual pero no de la forma requerida. Por otro lado, esta forma bilineal satisface

${\displaystyle f(\phi ,\psi )=0\,}$porque todo implica que${\displaystyle \,\phi }$${\displaystyle \psi =0.\,}$

En tal caso en el que f satisface la inyectividad (pero no necesariamente la sobrejetividad), se dice que f es débilmente no degenerado .

Terminología

Si f desaparece de forma idéntica en todos los vectores, se dice que está totalmente degenerado . Dada cualquier forma bilineal ƒ en V el conjunto de vectores

${\displaystyle \{x\in V\mid f(x,y)=0{\mbox{ for all }}y\in V\}}$

forma un totalmente degenerada subespacio de V . El mapa f no es degenerado si y solo si este subespacio es trivial.

Geométricamente, una línea isotrópica de la forma cuadrática corresponde a un punto de la hipersuperficie cuádrica asociada en el espacio proyectivo . Dicha línea es además isotrópica para la forma bilineal si y solo si el punto correspondiente es una singularidad . Por lo tanto, sobre un campo algebraicamente cerrado , el nullstellensatz de Hilbert garantiza que la forma cuadrática siempre tiene líneas isotrópicas, mientras que la forma bilineal las tiene si y solo si la superficie es singular.

Ver también

• Sistema dual
• Forma  lineal: mapa lineal desde un espacio vectorial hasta su campo de escalares

Citas