Sistema de ecuaciones polinomiales
Un sistema de ecuaciones polinomiales (a veces simplemente un sistema polinomial ) es un conjunto de ecuaciones simultáneas f 1 = 0, ..., f h = 0 donde f i son polinomios en varias variables, digamos x 1 , ..., x n , sobre algún campo k .
Una solución de un sistema polinomial es un conjunto de valores para x i s que pertenecen a alguna extensión de campo algebraicamente cerrado K de k , y hacen que todas las ecuaciones sean verdaderas. Cuando k es el campo de números racionales , generalmente se supone que K es el campo de números complejos , porque cada solución pertenece a una extensión de campo de k , que es isomorfa a un subcampo de números complejos.
Este artículo trata sobre los métodos para resolver, es decir, encontrar todas las soluciones o describirlas. Como estos métodos están diseñados para ser implementados en una computadora, se hace hincapié en los campos k en los que el cálculo (incluidas las pruebas de igualdad) es fácil y eficiente, es decir, el campo de los números racionales y los campos finitos .
La búsqueda de soluciones que pertenezcan a un conjunto específico es un problema que en general es mucho más difícil y está fuera del alcance de este artículo, excepto en el caso de las soluciones en un campo finito dado. Para el caso de soluciones en las que todos los componentes son números enteros o racionales, consulte Ecuación diofántica .
El tema de este artículo es el estudio de las generalizaciones de este ejemplo y la descripción de los métodos que se utilizan para calcular las soluciones.
donde cada f h es un polinomio en los indeterminados x 1 , ..., x m , con coeficientes enteros, o coeficientes en algún campo fijo , a menudo el campo de números racionales o un campo finito . [1] Otros campos de coeficientes, como los números reales , se usan con menos frecuencia, ya que sus elementos no se pueden representar en una computadora (solo se pueden usar aproximaciones de números reales en los cálculos, y estas aproximaciones son siempre números racionales).
