En matemáticas , y / o particularmente en álgebra formal , un indeterminado es un símbolo que se trata como una variable, no representa nada más que a sí mismo, y a menudo se usa como marcador de posición en objetos como polinomios y series de potencias formales . [1] [2] [3] En particular:
- No designa una constante o un parámetro del problema.
- No es una incógnita que pueda resolverse.
- No es una variable que designa un argumento de función, o una variable que se suma o se integra.
- No es ningún tipo de variable ligada .
- Es solo un símbolo usado de una manera completamente formal. [4]
Polinomios
Un polinomio en un indeterminado es una expresión de la forma , donde el se denominan coeficientes del polinomio. Dos de estos polinomios son iguales solo si los coeficientes correspondientes son iguales. [5] Por el contrario, dos funciones polinomiales en una variable puede ser igual o no a un valor particular de .
Por ejemplo, las funciones
son iguales cuando y no igual de otra manera. Pero los dos polinomios
son desiguales, ya que 2 no es igual a 5 y 3 no es igual a 2. De hecho,
no se sostiene a menos que y . Esto es porque no es, y no designa, un número.
La distinción es sutil, ya que un polinomio en se puede cambiar a una función en por sustitución. Pero la distinción es importante porque la información se puede perder cuando se realiza esta sustitución. Por ejemplo, cuando trabajamos en módulo 2 , tenemos que:
entonces la función polinomial es idénticamente igual a 0 para que tenga algún valor en el sistema módulo 2. Sin embargo, el polinomio no es el polinomio cero, ya que los coeficientes, 0, 1 y -1, respectivamente, no son todos cero.
Serie de poder formal
Una serie de poder formal en un indeterminado es una expresión de la forma , donde no se asigna ningún valor al símbolo . [6] Esto es similar a la definición de un polinomio, excepto que un número infinito de coeficientes puede ser distinto de cero. A diferencia de las series de potencias encontradas en cálculo, las cuestiones de convergencia son irrelevantes (ya que no hay ninguna función en juego). Entonces, series de potencia que divergirían para valores de, como , están permitidos.
Como generadores
Los indeterminados son útiles en álgebra abstracta para generar estructuras matemáticas . Por ejemplo, dado un campo , el conjunto de polinomios con coeficientes en es el anillo polinomial con la suma y la multiplicación de polinomios como operaciones. En particular, si dos indeterminados y se utilizan, entonces el anillo polinomial también utiliza estas operaciones, y la convención sostiene que .
Los indeterminados también se pueden usar para generar un álgebra libre sobre un anillo conmutativo . Por ejemplo, con dos indeterminados y , el álgebra libre incluye sumas de cadenas en y , con coeficientes en , y con el entendimiento de que y no son necesariamente idénticas (ya que el álgebra libre es por definición no conmutativa).
Ver también
Notas
- ^ "El glosario definitivo de jerga matemática superior - indeterminado" . Bóveda de matemáticas . 2019-08-01 . Consultado el 2 de diciembre de 2019 .
- ^ Weisstein, Eric W. "Indeterminado" . mathworld.wolfram.com . Consultado el 2 de diciembre de 2019 .
- ^ "Definición: anillo polinomial / indeterminado - ProofWiki" . proofwiki.org . Consultado el 2 de diciembre de 2019 .
- ^ McCoy (1973 , págs. 189, 190)
- ^ Herstein 1975 , sección 3.9.
- ^ Weisstein, Eric W. "Formal Power Series" . mathworld.wolfram.com . Consultado el 2 de diciembre de 2019 .
Referencias
- Herstein, IN (1975). Temas de álgebra . Wiley.
- McCoy, Neal H. (1973), Introducción al álgebra moderna, edición revisada , Boston: Allyn y Bacon , LCCN 68015225
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