subgrupo normal

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En álgebra abstracta , un subgrupo normal (también conocido como subgrupo invariante o subgrupo autoconjugado ) ^[1] es un subgrupo que es invariante bajo la conjugación de miembros del grupo del que forma parte. En otras palabras, un subgrupo del grupo es normal si y sólo si para todos y La notación usual para esta relación es${\ estilo de visualización N}$${\ estilo de visualización G}$${\ estilo de visualización G}$${\displaystyle gng^{-1}\en N}$${\ estilo de visualización g \ en G}$${\ estilo de visualización n \ en N.}$${\displaystyle N\triangleleft G.}$

Los subgrupos normales son importantes porque ellos (y solo ellos) pueden usarse para construir grupos de cocientes del grupo dado. Además, los subgrupos normales de son precisamente los núcleos de los homomorfismos de grupo con dominio , lo que significa que pueden usarse para clasificar internamente esos homomorfismos.${\ estilo de visualización G}$${\ estilo de visualización G,}$

Un subgrupo de un grupo se llama subgrupo normal de si es invariante bajo conjugación ; es decir, la conjugación de un elemento de por un elemento de siempre está en ^[3] La notación usual para esta relación es${\ estilo de visualización N}$${\ estilo de visualización G}$${\ estilo de visualización G}$${\ estilo de visualización N}$${\ estilo de visualización G}$${\ estilo de visualización N.}$${\displaystyle N\triangleleft G.}$

Para cualquier subgrupo de las siguientes condiciones equivalen a ser un subgrupo normal de Por tanto, cualquiera de ellas puede tomarse como definición:${\ estilo de visualización N}$${\ estilo de visualización G,}$${\ estilo de visualización N}$${\ estilo de visualización G.}$

Para cualquier grupo, el subgrupo trivial que consiste solo en el elemento de identidad de es siempre un subgrupo normal de Del mismo modo, él mismo es siempre un subgrupo normal de (si estos son los únicos subgrupos normales, entonces se dice que es simple ). ^[6] Otro llamado los subgrupos normales de un grupo arbitrario incluyen el centro del grupo (el conjunto de elementos que conmutan con todos los demás elementos) y el subgrupo conmutador ^{[7] [8]} Más generalmente, dado que la conjugación es un isomorfismo, cualquier subgrupo característico es un subgrupo normal . ^[9]${\ estilo de visualización G,}$${\ estilo de visualización \ {e \}}$${\ estilo de visualización G}$${\ estilo de visualización G.}$${\ estilo de visualización G}$${\ estilo de visualización G.}$${\ estilo de visualización G}$ ${\ estilo de visualización [G, G].}$

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