En álgebra , el núcleo de un homomorfismo (función que conserva la estructura ) es generalmente la imagen inversa de 0 (excepto para los grupos cuya operación se denota multiplicativamente, donde el núcleo es la imagen inversa de 1). Un caso especial importante es el núcleo de un mapa lineal . El núcleo de una matriz , también llamado espacio nulo , es el núcleo del mapa lineal definido por la matriz.
El núcleo de un homomorfismo se reduce a 0 (o 1) si y solo si el homomorfismo es inyectivo , es decir, si la imagen inversa de cada elemento consta de un solo elemento. Esto significa que el kernel puede verse como una medida del grado en que el homomorfismo deja de ser inyectivo. [1]
Para algunos tipos de estructura, como los grupos abelianos y los espacios vectoriales , los posibles núcleos son exactamente las subestructuras del mismo tipo. Este no es siempre el caso y, a veces, los posibles núcleos han recibido un nombre especial, como subgrupo normal para grupos e ideales de dos caras para anillos .
Los kernels permiten definir objetos cocientes (también llamados álgebras de cociente en álgebra universal y cokernels en teoría de categorías ). Para muchos tipos de estructura algebraica, el teorema fundamental de los homomorfismos (o primer teorema del isomorfismo ) establece que la imagen de un homomorfismo es isomorfa al cociente del núcleo.
El concepto de núcleo se ha extendido a estructuras tales que la imagen inversa de un solo elemento no es suficiente para decidir si un homomorfismo es inyectivo. En estos casos, el núcleo es una relación de congruencia .
Deje que V y W sean espacios vectoriales más de un campo (o más generalmente, los módulos de más de un anillo ) y dejar que T sea un mapa lineal de V a W . Si 0 W es el vector cero de W , entonces el núcleo de T es la preimagen del subespacio cero { 0 W }; es decir, el subconjunto de V que consta de todos aquellos elementos de V que están mapeados porT al elemento 0 W . El kernel generalmente se denota como ker T , o alguna variación del mismo: