En matemáticas, el teorema de O'Nan-Scott es uno de los teoremas más influyentes de la teoría de grupos de permutación ; la clasificación de grupos simples finitos es lo que la hace tan útil. Originalmente, el teorema se refería a los subgrupos máximos del grupo simétrico . Apareció como un apéndice de un artículo de Leonard Scott escrito para la Conferencia de Santa Cruz sobre Grupos Finitos en 1979, con una nota al pie de la página de que Michael O'Nan había demostrado independientemente el mismo resultado. [1] Michael Aschbacher y Scott más tarde dieron una versión corregida del enunciado del teorema. [2]
El teorema establece que un subgrupo máximo del grupo simétrico Sym (Ω), donde | Ω | = n , es uno de los siguientes:
- S k × S n − k el estabilizador de un k -set (es decir, intransitivo)
- S a wr S b con n = ab, el estabilizador de una partición en b partes de tamaño a (es decir, imprimitivo)
- primitivo (es decir, no conserva una partición no trivial) y de uno de los siguientes tipos:
- AGL ( d , p )
- S l wr S k , el estabilizador de la estructura del producto Ω = Δ k
- un grupo de tipo diagonal
- un grupo casi simple
En un estudio escrito para el Bulletin of the London Mathematical Society , Peter J. Cameron parece haber sido el primero en reconocer que el poder real del teorema de O'Nan-Scott reside en la capacidad de dividir los grupos primitivos finitos en varios tipos. [3] MW Liebeck , Cheryl Praeger y Jan Saxl dieron una versión completa del teorema con una demostración autónoma . [4] El teorema es ahora una parte estándar de los libros de texto sobre grupos de permutación. [5]
Tipos de O'Nan-Scott
Los ocho tipos de O'Nan-Scott son los siguientes:
HA (holomorfo de un grupo abeliano): estos son los grupos primitivos que son subgrupos del grupo lineal general afín AGL ( d , p ), para algunos primos py un entero positivo d ≥ 1. Para que tal grupo G sea primitivo, debe contener el subgrupo de todas las traslaciones, y el estabilizador G 0 en G del vector cero debe ser un subgrupo irreducible de GL ( d, p ). Los grupos primitivos de tipo HA se caracterizan por tener un subgrupo normal mínimo único que es abeliano elemental y actúa con regularidad.
HS (holomorfo de un grupo simple): Sea T un grupo simple no beliano finito. Entonces M = T × T actúa sobre Ω = T por t ( t 1 , t 2 ) = t 1 −1 tt 2 . Ahora M tiene dos subgrupos normales mínimos N 1 , N 2 , cada uno isomorfo a T y cada uno actúa regularmente en Ω, uno por multiplicación por la derecha y otro por multiplicación por la izquierda. La acción de M es primitiva y si tomamos α = 1 T tenemos M α = {( t , t ) | t ∈ T }, que incluye Inn ( T ) en Ω. De hecho, cualquier automorfismo de T actuará sobre Ω. Un grupo primitivo de tipo HS es entonces cualquier grupo G tal que M ≅ T .Inn ( T ) ≤ G ≤ T .Aut ( T ). Todos estos grupos tienen N 1 y N 2 como subgrupos normales mínimos.
HC (holomorfo de un grupo compuesto): Sea T un grupo simple no beliano y sea N 1 ≅ N 2 ≅ T k para algún número entero k ≥ 2. Sea Ω = T k . Entonces M = N 1 × N 2 actúa transitivamente en Ω a través de x ( n 1 , n 2 ) = n 1 −1 xn 2 para todo x ∈ Ω, n 1 ∈ N 1 , n 2 ∈ N 2 . Como en el caso HS, tenemos M ≅ T k .Inn ( T k ) y cualquier automorfismo de T k también actúa sobre Ω. Un grupo primitivo de tipo HC es un grupo G tal que M ≤ G ≤ T k. Aut ( T k ) y G induce un subgrupo de Aut ( T k ) = Aut ( T ) wr S k que actúa transitivamente sobre el conjunto de k factores directos simples de T k . Cualquiera de estos G tiene dos subgrupos normales mínimos, cada uno isomorfo a T k y regular.
Un grupo de tipo HC conserva una estructura de producto Ω = Δ k donde Δ = T y G ≤ H wr S k donde H es un grupo primitivo de tipo HS en Δ.
TW (corona retorcida): Aquí G tiene un subgrupo normal mínimo único N y N ≅ T k para algún grupo simple no beliano finito T y N actúa regularmente en Ω. Estos grupos pueden construirse como productos de guirnaldas retorcidas y, por lo tanto, la etiqueta TW. Las condiciones requeridas para obtener la primitividad implican que k ≥ 6, por lo que el grado más pequeño de dicho grupo primitivo es 60 6 .
AS (casi simple): Aquí G es un grupo que se encuentra entre T y Aut ( T ), es decir, G es un grupo casi simple y por eso el nombre. No se nos dice nada sobre lo que es la acción, aparte de que es primitiva. Un análisis de este tipo requiere conocer las posibles acciones primitivas de grupos casi simples, lo que equivale a conocer los subgrupos máximos de grupos casi simples.
SD (diagonal simple): Sea N = T k para algún grupo simple no beliano T y un entero k ≥ 2 y sea H = {( t, ..., t ) | t ∈ T } ≤ N . Entonces N actúa sobre el conjunto Ω de clases laterales derechas de H en N mediante multiplicación por la derecha. Podemos tomar {( t 1 , ..., t k −1 , 1) | t i ∈ T } para ser un conjunto de representantes de clases laterales para H en N y, por lo tanto, podemos identificar Ω con T k −1 . Ahora ( s 1 , ..., s k ) ∈ N toma la clase lateral con representante ( t 1 , ..., t k −1 , 1) a la clase lateral H ( t 1 s 1 , ..., t k −1 s k −1 , s k ) = H ( s k −1 t k s 1 , ..., s k −1 t k −1 s k −1 , 1) El grupo S k induce automorfismos de N por permuta las entradas y fija el subgrupo H y así actúa sobre el conjunto Ω. Además, tenga en cuenta que H actúa sobre Ω induciendo Inn ( T ) y, de hecho, cualquier automorfismo σ de T actúa sobre Ω tomando la clase lateral con representante ( t 1 , ..., t k −1 , 1) a la clase lateral con representativo ( t 1 σ , ..., t k −1 σ , 1). Así obtenemos un grupo W = N. (Out ( T ) × S k ) ≤ Sym (Ω). Un grupo primitivo de tipo SD es un grupo G ≤ W tal que N ◅ G y G induce un subgrupo primitiva de S k en los k simples factores directos de N .
CD (diagonal compuesta): Aquí Ω = Δ k y G ≤ H wr S k donde H es un grupo primitivo de tipo SD en Δ con subgrupo normal mínimo T l . Además, N = T kl es un subgrupo normal mínimo de G y G induce un subgrupo transitivo de S k .
PA (acción producto): Aquí Ω = Δ k y G ≤ H wr S k , donde H es un grupo casi sencilla primitiva con zócalo T . Por tanto, G tiene una acción de producto sobre Ω. Además, N = T k ◅ G y G induce un subgrupo transitivo de S k en su acción sobre los k factores directos simples de N.
Algunos autores utilizan diferentes divisiones de los tipos. Lo más común es incluir los tipos HS y SD juntos como un "tipo diagonal" y los tipos HC, CD y PA juntos como un "tipo de acción del producto". [6] Praeger luego generalizó el teorema de O'Nan-Scott a grupos cuasiprimitivos ( grupos con acciones fieles tales que la restricción a cada subgrupo normal no trivial es transitiva). [7]
Referencias
- ^ Scott, Leonard (1980). "Representaciones en característica p ". La Conferencia de Santa Cruz sobre Grupos Finitos (Univ. California, Santa Cruz, Calif., 1979) . Actas de simposios en matemáticas puras. 37 . Sociedad Matemática Estadounidense. págs. 319–331. ISBN 978-0-8218-1440-6.
- ^ Aschbacher, Michael G .; Scott, Leonard L. (1985). "Subgrupos máximos de grupos finitos". Revista de álgebra . 92 (1): 44–80.
- ^ Cameron, Peter J. (1981). "Grupos de permutación finitos y grupos simples finitos" . Toro. London Math. Soc . 13 : 1–22. doi : 10.1112 / blms / 13.1.1 .
- ^ Liebeck, Martin W .; Cheryl E. Praeger; Jan Saxl (1988). "Sobre el teorema de O'Nan Scott para grupos de permutación primitiva" . J. Austral. Matemáticas. Soc . 44 : 389–396. doi : 10.1017 / S144678870003216X . Consultado el 24 de abril de 2013 .
- ^ Dixon, John D .; Mortimer, Brian C. (1996). Grupos de permutación . Textos de Posgrado en Matemáticas. 163 . Springer Verlag. ISBN 0-387-94599-7.
- ^ Giudici, Michael. "El teorema de O'Nan-Scott" . Consultado el 24 de abril de 2013 .
- ^ Praeger, Cheryl E. (1993). "Un teorema de O'Nan-Scott para grupos finitos de permutación cuasiprimitiva y una aplicación a gráficos transitivos de 2 arcos". Revista de la Sociedad Matemática de Londres . t2-47 (2): 227-239. doi : 10.1112 / jlms / s2-47.2.227 .
enlaces externos
- "Teorema de O'Nan-Scott" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]