En matemáticas , un grupo de permutación G que actúa sobre un conjunto finito no vacío X se llama primitivo si G actúa transitivamente sobre X y G no conserva una partición no trivial de X , donde la partición no trivial significa una partición que no es una partición en conjuntos singleton o partición en un conjunto X . De lo contrario, si G es transitivo y G conserva una partición no trivial, G se llama imprimitivo .
Si bien los grupos de permutación primitivos son transitivos por definición, no todos los grupos de permutación transitivos son primitivos. El requisito de que un grupo primitivo sea transitivo es necesario sólo cuando X es un conjunto de 2 elementos y la acción es trivial; de lo contrario, la condición de que G no conserve una partición no trivial implica que G es transitivo. Esto se debe a que para las acciones no transitivas o las órbitas de G forman una partición no trivial preservada por G , o la acción de grupo es trivial, en cuyo caso cualquier partición no trivial de X (que existe para | X | ≥ 3 ) es preservada por G .
Esta terminología fue introducida por Évariste Galois en su última carta, en la que utilizó el término francés équation primitive para una ecuación cuyo grupo de Galois es primitivo. [1]
En la misma carta afirmó también el siguiente teorema.
Si G es un grupo resoluble primitivo que actúa sobre un conjunto finito X , entonces el orden de X es una potencia de un número primo p , X puede identificarse con un espacio afín sobre el campo finito con p elementos y G actúa sobre X como un subgrupo del grupo afín .
Un grupo de permutación imprimitiva es un ejemplo de representación inducida ; los ejemplos incluyen representaciones de clases laterales G / H en los casos en que H no es un subgrupo máximo . Cuando H es máximo, la representación de clases laterales es primitiva.
Si el conjunto X es finito, su cardinalidad se llama el grado de G . El número de grupos primitivos de pequeño grado fue declarado por Robert Carmichael en 1937:
La licenciatura | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | dieciséis | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | OEIS |
Número | 1 | 2 | 2 | 5 | 4 | 7 | 7 | 11 | 9 | 8 | 6 | 9 | 4 | 6 | 22 | 10 | 4 | 8 | 4 | 9 | 4 | 7 | 5 | A000019 |
Hay un gran número de grupos primitivos de grado 16. Como señala Carmichael, todos estos grupos, excepto el grupo simétrico y alterno , son subgrupos del grupo afín en el espacio de 4 dimensiones sobre el campo finito de 2 elementos .
Ejemplos de
- Considere el grupo simétrico actuando en el set y la permutación
Ambas cosas y el grupo generado por son primitivos.
- Ahora considere el grupo simétrico actuando en el set y la permutación
El grupo generado por no es primitivo, ya que la partición dónde y se conserva bajo , es decir y .
- Todo grupo transitivo de primer grado es primitivo
- El grupo simétrico actuando en el set es primitivo para cada ny el grupo alterno actuando en el set es primitivo para todo n > 2.
Ver también
- Bloque (teoría de grupos de permutación)
- Teorema de Jordan (grupo simétrico)
- Teorema de O'Nan-Scott , una clasificación de grupos primitivos finitos en varios tipos
Referencias
- ^ Última carta de Galois: http://www.galois.ihp.fr/ressources/vie-et-oeuvre-de-galois/lettres/lettre-testament
- Roney-Dougal, Colva M. Los grupos de permutación primitiva de grado inferior a 2500 , Journal of Algebra 292 (2005), no. 1, 154-183.
- La biblioteca de datos GAP "Grupos de permutación primitiva" .
- Carmichael, Robert D., Introducción a la teoría de grupos de orden finito. Ginn, Boston, 1937. Reimpreso por Dover Publications, Nueva York, 1956.
- Todd Rowland. "Acción de grupo primitivo" . MathWorld .