Ecuación de onda unidireccional

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Una ecuación de onda unidireccional es una ecuación diferencial parcial de primer orden utilizada en campos científicos como la geofísica , cuya solución es, en contraste con las conocidas ecuaciones de onda bidireccionales de segundo orden, una onda que se propaga en una dirección predefinida. (la dirección en 1D está definida por el signo de la velocidad de la onda). ^{[1] [2]}En el caso unidimensional, la ecuación de onda unidireccional permite calcular la propagación de onda sin la complicación matemática de resolver una ecuación diferencial de segundo orden. Debido al hecho de que en las últimas décadas no se pudo encontrar una ecuación de onda 3D unidireccional, se utilizan numerosos métodos de aproximación basados ​​en la ecuación de onda unidireccional 1D para cálculos sísmicos 3D y otros cálculos geofísicos, ver también la sección Caso tridimensional . ^{[3] [4] [1]}

Caso unidimensional

La ecuación de onda estándar de segundo orden en una dimensión se puede escribir como:

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}s}{\partial t^{2}}}-c^{2}{\frac {\partial ^{2}s}{\partial x^{2}}}=0}$,

donde es la coordenada, es el tiempo, es el desplazamiento y es la velocidad de la onda.${\displaystyle x}$${\displaystyle t}$${\displaystyle s=s(x,t)}$${\displaystyle c}$

Debido a la ambigüedad en la dirección de la velocidad de la onda , la ecuación no restringe la dirección de la onda y, por lo tanto, tiene soluciones que se propagan en las direcciones hacia adelante ( ) y hacia atrás ( ). La solución general de la ecuación son las soluciones en estas dos direcciones es: ${\displaystyle c^{2}=(+c)^{2}=(-c)^{2}}$${\displaystyle +x}$${\displaystyle -x}$

${\textstyle s(x,t)=s_{+}(t-x/c)+s_{-}(t+x/c)}$

donde y son desplazamientos iguales y opuestos. ${\displaystyle s_{+}}$${\displaystyle s_{-}}$

Cuando se formula el problema de la onda unidireccional, la dirección de propagación de la onda se puede seleccionar arbitrariamente manteniendo uno de los dos términos en la solución general.

Factorizar el operador en el lado izquierdo de la ecuación produce un par de ecuaciones de onda unidireccionales, una con soluciones que se propagan hacia adelante y la otra con soluciones que se propagan hacia atrás. ^{[5] [6]}

${\displaystyle {\biggl (}{\partial ^{2} \over \partial t^{2}}-c^{2}{\partial ^{2} \over \partial x^{2}}{\biggr )}s={\biggl (}{\partial \over \partial t}-c{\partial \over \partial x}{\biggr )}{\biggl (}{\partial \over \partial t}+c{\partial \over \partial x}{\biggr )}s=0,}$

Las ondas que viajan hacia adelante y hacia atrás se describen respectivamente,

${\textstyle {\begin{aligned}&{{\frac {\partial s}{\partial t}}-c{\frac {\partial s}{\partial x}}=0}\\[6pt]&{{\frac {\partial s}{\partial t}}+c{\frac {\partial s}{\partial x}}=0}\end{aligned}}}$

Las ecuaciones de onda unidireccionales (en un medio homogéneo) también pueden derivarse directamente de la impedancia acústica específica característica. En una onda plana longitudinal, la impedancia específica determina la proporcionalidad local de la presión y la velocidad de las partículas : ^[7]${\displaystyle p=p(x,t)}$${\displaystyle v=v(x,t)}$

${\displaystyle {\frac {p}{v}}=\rho c,}$

con = densidad.${\displaystyle \rho }$

La conversión de la ecuación de impedancia conduce a:

${\displaystyle v-{\frac {1}{\rho c}}p=0}$ (*)

Una onda plana longitudinal de frecuencia angular tiene el desplazamiento . La presión y la velocidad de las partículas se pueden expresar en términos de desplazamiento ( : Módulo de elasticidad ): ^{[8] [se necesita una mejor fuente ]}${\displaystyle \omega }$${\displaystyle s=s(x,t)}$${\displaystyle p}$${\displaystyle v}$${\displaystyle s}$${\displaystyle E}$

${\displaystyle p:=E{\partial s \over \partial x}}$ [para el caso de 1D, esto es una analogía completa con la tensión en mecánica :, con la deformación definida como ^[9] ]${\displaystyle \sigma }$${\displaystyle \sigma =E\epsilon }$${\displaystyle \epsilon ={\frac {\Delta L}{L}}}$

${\displaystyle v={\partial s \over \partial t}}$

Estas relaciones insertadas en la ecuación anterior (*) dan como resultado:

${\displaystyle {\partial s \over \partial t}-{E \over \rho c}{\partial s \over \partial x}=0}$

Con la definición de velocidad de onda local ( velocidad del sonido ):

${\displaystyle c={\sqrt {E(x) \over \rho (x)}}\Leftrightarrow c={E \over \rho c}}$

sigue directamente la ecuación diferencial parcial de primer orden de la ecuación de onda unidireccional:

${\displaystyle {{\frac {\partial s}{\partial t}}-c{\frac {\partial s}{\partial x}}=0}}$

La velocidad de la onda se puede establecer dentro de esta ecuación de onda como o de acuerdo con la dirección de propagación de la onda.${\displaystyle c}$${\displaystyle +c}$${\displaystyle -c}$

Para la propagación de ondas en la dirección de la solución única es ${\displaystyle +c}$

${\displaystyle s(x,t)=s_{+}(t-x/c)}$

y para la propagación de ondas en la dirección, la solución respectiva es${\displaystyle -c}$

${\textstyle s(x,t)=s_{-}(t+x/c)}$

^[10]

También existe una ecuación de onda esférica unidireccional que describe la propagación de onda de una fuente de sonido monopolo en coordenadas esféricas, es decir, en dirección radial. Mediante una modificación del operador radial nabla se resuelve una inconsistencia entre los operadores de divergencia esférica y laplace y la solución resultante no muestra funciones de Bessel (en contraste con la solución conocida del enfoque bidireccional convencional). ^[11]

Caso tridimensional

Se supuso que la solución en el caso tridimensional era similar a la del caso unidimensional mediante una descomposición matemática de una ecuación diferencial de segundo orden. ^[12] En contraste con esto, otro enfoque utilizó un equilibrio de flujo de impulso tensorial en un punto de campo para derivar una ecuación de onda 3D unidireccional de primer orden. ^{[8] [11]}

Ver también

• ecuación de transporte
• ecuación de onda
• onda estacionaria

Referencias

1. Angus, DA (1 de marzo de 2014). "La ecuación de onda unidireccional: una herramienta de forma de onda completa para modelar fenómenos de ondas corporales sísmicas" (PDF) . Encuestas en Geofísica . 35 (2): 359–393. Código bibliográfico : 2014SGeo ... 35..359A . doi : 10.1007 / s10712-013-9250-2 . ISSN  1573-0956 . S2CID  121469325 .
2. Trefethen, L N. "19. Ecuaciones de onda unidireccionales" (PDF) .
3. Qiqiang, Yang ( enero de 2012). "Modelado directo de la ecuación de onda acústica unidireccional por el método Hartley" . Procedia Ciencias Ambientales . 2011 Congreso Internacional de Ciencias e Ingeniería Ambiental. 12 : 1116–1121. doi : 10.1016 / j.proenv.2012.01.396 . ISSN 1878-0296 . 
4. Zhang, Yu; Zhang, Guanquan; Bleistein, Norman (septiembre de 2003). "Migración de la ecuación de onda de amplitud verdadera derivada de ecuaciones de onda unidireccionales de amplitud verdadera". Problemas inversos . 19 (5): 1113-1138. Código Bibliográfico : 2003InvPr..19.1113Z . doi : 10.1088 / 0266-5611 / 19/5/307 . ISSN 0266-5611 . 
5. Baysal, Edip; Kosloff, Dan D .; Sherwood, JWC (febrero de 1984), "Una ecuación de onda no reflectante de dos vías", Geophysics , 49 (2), págs. 132-141, Bibcode : 1984Geop ... 49..132B , doi : 10.1190 / 1.1441644 , ISSN 0016 -8033 
6. Angus, DA (17 de agosto de 2013), "La ecuación de onda unidireccional: una herramienta de forma de onda completa para modelar fenómenos de ondas corporales sísmicas" (PDF) , Encuestas en geofísica , 35 (2), págs. 359–393 , doi : 10.1007 / s10712-013-9250-2 , ISSN 0169-3298 , S2CID 121469325   
7. "Sonido - Impedancia" . Enciclopedia Británica . Consultado el 20 de mayo de 2021 .
8. Bschorr, Oskar; Raida, Hans-Joachim (marzo de 2020). "Ecuación de onda unidireccional derivada del teorema de impedancia" . Acústica . 2 (1): 164-170. doi : 10.3390 / acoustics2010012 .
9. "Módulo de Young | Descripción, ejemplo y hechos" . Enciclopedia Británica . Consultado el 20 de mayo de 2021 .
10. https://mathworld.wolfram.com/WaveEquation1-Dimensional.html
11. Bschorr, Oskar; Raida, Hans-Joachim (marzo de 2021). "Ecuación de onda esférica unidireccional" . Acústica . 3 (2): 309–315. doi : 10.3390 / acústica3020021 .
12. Las matemáticas de PDE y la ecuación de onda https://mathtube.org/sites/default/files/lecture-notes/Lamoureux_Michael.pdf