El método de constante de tiempo de circuito abierto (OCT) es una técnica de análisis aproximada que se utiliza en el diseño de circuitos electrónicos para determinar la frecuencia de esquina de circuitos complejos . Es un caso especial de la técnica del método de constante de tiempo de valor cero (ZVT) cuando los elementos reactivos constan solo de condensadores. El método de constante de tiempo de valor cero (ZVT) en sí mismo es un caso especial del análisis general de constante de tiempo y transferencia (TTC) que permite una evaluación completa de los ceros y polos de cualquier sistema LTI agrupado con inductores y condensadores como elementos reactivos usando constantes de tiempo y constantes de transferencia. El método OCT proporciona una evaluación rápida e identifica las mayores contribuciones a las constantes de tiempo como una guía para las mejoras del circuito.
La base del método es la aproximación de que la frecuencia de esquina del amplificador está determinada por el término en el denominador de su función de transferencia que es lineal en frecuencia. Esta aproximación puede ser extremadamente inexacta en algunos casos donde un cero en el numerador está cerca en frecuencia. [1]
El método también utiliza un método simplificado para encontrar el término lineal en frecuencia basado en la suma de los productos RC para cada capacitor en el circuito, donde la resistencia R para un capacitor seleccionado es la resistencia encontrada insertando una fuente de prueba en su sitio y configurando todos los demás condensadores a cero. De ahí el nombre de técnica de constante de tiempo de valor cero .
Ejemplo: red RC simple
La Figura 1 muestra un filtro de paso bajo RC simple. Su función de transferencia se encuentra utilizando la ley actual de Kirchhoff de la siguiente manera. En la salida,
donde V 1 es el voltaje en la parte superior del condensador C 1 . En el nodo central:
Combinando estas relaciones, se encuentra que la función de transferencia es:
El término lineal en j ω en esta función de transferencia se puede derivar mediante el siguiente método, que es una aplicación del método de constante de tiempo de circuito abierto a este ejemplo.
- Ponga la fuente de la señal a cero.
- Seleccione el condensador C 2 , reemplácelo por un voltaje de prueba V X y reemplace C 1 por un circuito abierto. Luego, la resistencia vista por el voltaje de prueba se encuentra usando el circuito en el panel central de la Figura 1 y es simplemente V X / I X = R 1 + R 2 . Forme el producto C 2 ( R 1 + R 2 ).
- Seleccione el condensador C 1 , reemplácelo por un voltaje de prueba V X y reemplace C 2 por un circuito abierto. Luego, la resistencia vista por el voltaje de prueba se encuentra usando el circuito en el panel derecho de la Figura 1 y es simplemente V X / I X = R 1 . Forme el producto C 1 R 1 .
- Agregue estos términos.
En efecto, es como si cada capacitor se cargara y descargara a través de la resistencia que se encuentra en el circuito cuando el otro capacitor es un circuito abierto.
El procedimiento de constante de tiempo de circuito abierto proporciona el término lineal en j ω independientemente de la complejidad de la red RC. Esto fue desarrollado y probado originalmente mediante el cálculo de los cofactores de la matriz de admitancia de Thornton y Searle. [2] Más tarde, Hajimiri desarrolló una prueba inductiva más intuitiva de esto (y otras propiedades de TTC). [3]
Para un circuito complejo, el procedimiento consiste en seguir las reglas anteriores, pasando por todos los condensadores del circuito. Una derivación más general se encuentra en Gray y Meyer. [4]
Hasta ahora el resultado es general, pero se introduce una aproximación para hacer uso de este resultado: se asume que este término lineal en j ω determina la frecuencia de esquina del circuito.
Esa suposición se puede examinar más de cerca usando el ejemplo de la Figura 1: suponga que las constantes de tiempo de este circuito son τ 1 y τ 2 ; es decir:
Comparando los coeficientes de los términos lineal y cuadrático en j ω, se obtiene:
Una de las dos constantes de tiempo será la más larga; sea τ 1 . Supongamos por el momento que es mucho más grande que el otro, τ 1 >> τ 2 . En este caso, las aproximaciones sostienen que:
y
En otras palabras, sustituyendo los valores RC:
y
donde (^) denota el resultado aproximado. Aparte, observe que las constantes de tiempo del circuito involucran ambos capacitores; en otras palabras, en general, las constantes de tiempo del circuito no las decide un solo condensador. Usando estos resultados, es fácil explorar qué tan bien la frecuencia de esquina (la frecuencia de 3 dB) está dada por
ya que los parámetros varían. Además, la función de transferencia exacta se puede comparar con la aproximada, es decir,
- con
Por supuesto, la concordancia es buena cuando la suposición τ 1 >> τ 2 es precisa.
La figura 2 ilustra la aproximación. El eje x es la relación τ 1 / τ 2 en una escala logarítmica. Un aumento en esta variable significa que el polo superior está más por encima de la frecuencia de esquina. El eje y es la relación entre la estimación de OCTC (constante de tiempo de circuito abierto) y la constante de tiempo real. Para el polo más bajo, utilice la curva T_1; esta curva se refiere a la frecuencia de esquina; y para el polo superior utilice la curva T_2. El peor acuerdo es para τ 1 = τ 2 . En este caso τ ^ 1 = 2 τ 1 y la frecuencia de esquina es un factor de 2 demasiado pequeño. El polo superior es un factor 2 demasiado alto (su constante de tiempo es la mitad del valor real).
En todos los casos, la frecuencia de esquina estimada está más cerca que un factor de dos de la real, y siempre es conservadora , es decir, más baja que la esquina real, por lo que el circuito real se comportará mejor de lo previsto. Sin embargo, el polo superior siempre es optimista , es decir, predice el polo superior a una frecuencia más alta de lo que realmente es. Para utilizar estas estimaciones para las predicciones de respuesta escalonada , que dependen de la relación de las frecuencias de dos polos (consulte el artículo sobre división de polos para ver un ejemplo), la Figura 2 sugiere que se necesita una relación bastante grande de τ 1 / τ 2 para la precisión porque en τ ^ 1 y τ ^ 2 se refuerzan mutuamente en la relación τ ^ 1 / τ ^ 2 .
El método de constante de tiempo de circuito abierto se enfoca únicamente en la frecuencia de esquina, pero como se vio anteriormente, también son posibles estimaciones para polos más altos.
En Pittet y Kandaswamy se puede encontrar la aplicación del método de constante de tiempo de circuito abierto a una serie de etapas de amplificador de un solo transistor. [5]
Referencias y notas
- ^ Marc T. Thompson (2006). Diseño intuitivo de circuitos analógicos: un enfoque de resolución de problemas utilizando estudios de casos de diseño . Oxford Reino Unido / Ámsterdam: Elsevier / Newnes. pag. Capítulo 7; p.161-167. ISBN 0-7506-7786-4.
- ^ Richard D. Thornton y Campbell L. Searle (1965). Circuitos de transistores multietapa (Primera edición). Nueva York: Wiley.
- ^ Hajimiri, Ali (junio de 2010). "Análisis de circuito de constante de transferencia y tiempo generalizado" . IEEE Transactions on Circuits and Systems I: Regular Papers . 57 (6): 1105–1121. doi : 10.1109 / TCSI.2009.2030092 .
- ^ Paul R. Gray, Hurst PJ Lewis SH y Meyer RG (2001). Análisis y diseño de circuitos integrados analógicos (Cuarta ed.). Nueva York: Wiley. pag. §7.3.2 págs. 517–520. ISBN 0-471-32168-0.
- ^ Andre Pittet y A. Kandaswamy (2005). Electrónica analógica . Nueva Delhi: Prentice-Hall of India. pag. Capítulo 4; págs. 155-166. ISBN 81-203-2784-5.