orientabilidad
En matemáticas , la orientabilidad es una propiedad de algunos espacios topológicos , como los espacios vectoriales reales , los espacios euclidianos , las superficies y, en general, las variedades que permiten una definición coherente de "sentido horario" y "sentido antihorario". [1] Un espacio es orientable si existe tal definición consistente. En este caso, hay dos definiciones posibles, y una elección entre ellas es una orientación del espacio. Los espacios vectoriales reales, los espacios euclidianos y las esferas son orientables. Un espacio no es orientable.si "en el sentido de las agujas del reloj" se cambia a "en el sentido contrario a las agujas del reloj" después de pasar por algunos bucles y volver al punto de partida. Esto significa que una forma geométrica , como por ejemplo 
, que se mueve continuamente a lo largo de dicho bucle, cambia en su propia imagen reflejada 
. Una cinta de Möbius es un ejemplo de un espacio no orientable.
Se pueden dar varias formulaciones equivalentes de orientabilidad, según la aplicación deseada y el nivel de generalidad. Las formulaciones aplicables a las variedades topológicas generales a menudo emplean métodos de la teoría de la homología , mientras que para las variedades diferenciables hay más estructura presente, lo que permite una formulación en términos de formas diferenciales . Una generalización de la noción de orientabilidad de un espacio es la de orientabilidad de una familia de espacios parametrizados por algún otro espacio (un haz de fibras ) para el cual se debe seleccionar una orientación en cada uno de los espacios que varía continuamente con respecto a los cambios en el valores paramétricos.
Una superficie S en el espacio euclidiano R 3 es orientable si una figura bidimensional (por ejemplo, ) no se puede mover alrededor de la superficie y regresar a donde comenzó para que parezca su propia imagen especular ( ). De lo contrario, la superficie no es orientable . Una superficie abstracta (es decir, una variedad bidimensional ) es orientable si se puede definir un concepto consistente de rotación en el sentido de las agujas del reloj en la superficie de manera continua. Es decir, un bucle que gira en un sentido sobre la superficie nunca puede deformarse continuamente (sin superponerse a sí mismo) en un bucle que gira en el sentido opuesto. Esto resulta ser equivalente a la pregunta de si la superficie no contiene ningún subconjunto que sea homeomorfo a la cinta de Möbius . Así, para las superficies, la cinta de Möbius puede considerarse la fuente de toda falta de orientabilidad.
Para una superficie orientable, una elección consistente de "sentido horario" (en contraposición a sentido contrario a las agujas del reloj) se denomina orientación , y la superficie se denomina orientada . Para las superficies incrustadas en el espacio euclidiano, la orientación se especifica mediante la elección de una superficie normal n que varía continuamente en cada punto. Si tal normal existe, entonces siempre hay dos formas de seleccionarlo: n o − n . Más generalmente, una superficie orientable admite exactamente dos orientaciones, y la distinción entre una superficie orientada y una orientablela superficie es sutil y frecuentemente borrosa. Una superficie orientable es una superficie abstracta que admite una orientación, mientras que una superficie orientada es una superficie abstractamente orientable, y tiene el dato adicional de elegir una de las dos orientaciones posibles.
La mayoría de las superficies que encontramos en el mundo físico son orientables. Esferas , planos y toros son orientables, por ejemplo. Pero las tiras de Möbius , los planos proyectivos reales y las botellas de Klein no son orientables. Ellos, como se visualizan en 3 dimensiones, todos tienen un solo lado. El plano proyectivo real y la botella de Klein no se pueden incrustar en R 3 , solo se sumergen con buenas intersecciones.
Tenga en cuenta que, localmente, una superficie incrustada siempre tiene dos lados, por lo que una hormiga miope que se arrastra sobre una superficie de un solo lado pensaría que hay un "otro lado". La esencia de la unilateralidad es que la hormiga puede arrastrarse de un lado de la superficie al "otro" sin atravesar la superficie o voltearse sobre un borde, sino simplemente arrastrándose lo suficiente.
