Orientabilidad
En matemáticas , la orientabilidad es una propiedad de algunos espacios topológicos , como los espacios vectoriales reales , los espacios euclidianos , las superficies y, en general, las variedades que permiten una definición coherente de "en sentido horario" y "antihorario". [1] Un espacio es orientable si existe tal definición consistente. En este caso, hay dos definiciones posibles, y una elección entre ellas es una orientación del espacio. Los espacios vectoriales reales, los espacios euclidianos y las esferas son orientables. Un espacio no es orientablesi "en el sentido de las agujas del reloj" se cambia a "en el sentido contrario a las agujas del reloj" después de recorrer algunos bucles y volver al punto de partida. Esto significa que una forma geométrica , por ejemplo 
, que se mueve continuamente a lo largo de un bucle de este tipo, cambia en su propia imagen especular 
. Una tira de Möbius es un ejemplo de un espacio no orientable.
Se pueden dar varias formulaciones equivalentes de orientabilidad, dependiendo de la aplicación deseada y el nivel de generalidad. Las formulaciones aplicables a variedades topológicas generales a menudo emplean métodos de teoría de homología , mientras que para variedades diferenciables hay más estructura, lo que permite una formulación en términos de formas diferenciales . Una generalización de la noción de orientabilidad de un espacio es la de orientabilidad de una familia de espacios parametrizados por algún otro espacio (un haz de fibras ) para lo cual se debe seleccionar una orientación en cada uno de los espacios que varía continuamente con respecto a cambios en el valores paramétricos.
Una superficie S en el espacio euclidiano R 3 es orientable si una figura bidimensional (por ejemplo, ) no se puede mover alrededor de la superficie y volver a donde comenzó para que se vea como su propia imagen especular ( ). De lo contrario, la superficie no es orientable . Una superficie abstracta (es decir, una variedad bidimensional ) es orientable si se puede definir un concepto consistente de rotación en el sentido de las agujas del reloj en la superficie de una manera continua. Es decir, un bucle que gira en una dirección en la superficie nunca puede deformarse continuamente (sin solaparse) en un bucle que gira en la dirección opuesta. Esto resulta ser equivalente a la pregunta de si la superficie no contiene ningún subconjunto que sea homeomorfo a la tira de Möbius . Por lo tanto, para las superficies, la tira de Möbius puede considerarse la fuente de toda la no orientabilidad.
Para una superficie orientable, una elección consistente de "en el sentido de las agujas del reloj" (en oposición a en sentido antihorario) se llama orientación y la superficie se llama orientada . Para superficies incrustadas en el espacio euclidiano, una orientación se especifica mediante la elección de una superficie normal n continuamente variable en cada punto. Si tal normal existe, entonces siempre hay dos formas de seleccionarlo: n o - n . De manera más general, una superficie orientable admite exactamente dos orientaciones, y la distinción entre un Oriente ed superficie y un Oriente poderla superficie es sutil y frecuentemente borrosa. Una superficie orientable es una superficie abstracta que admite una orientación, mientras que una superficie orientada es una superficie que es orientable de forma abstracta y tiene el dato adicional de una elección de una de las dos orientaciones posibles.
La mayoría de las superficies que encontramos en el mundo físico son orientables. Las esferas , los planos y los toros son orientables, por ejemplo. Pero las tiras de Möbius , los planos proyectivos reales y las botellas de Klein no son orientables. Todos ellos, visualizados en 3 dimensiones, tienen un solo lado. El plano proyectivo real y la botella de Klein no se pueden incrustar en R 3 , solo se sumergen con bonitas intersecciones.
Tenga en cuenta que localmente una superficie incrustada siempre tiene dos lados, por lo que una hormiga miope que se arrastra sobre una superficie de un solo lado pensaría que hay un "otro lado". La esencia de la unilateralidad es que la hormiga puede arrastrarse de un lado de la superficie al "otro" sin atravesar la superficie o voltearse por un borde, sino simplemente arrastrándose lo suficiente.
