Celosía complementada

Diagrama de Hasse de una celosía complementada. Un punto py una recta l del plano de Fano son complementos si p no se encuentra en l .

En la disciplina matemática de la teoría del orden , un retículo complementado es un retículo acotado (con el elemento menor 0 y el elemento mayor 1), en el que cada elemento a tiene un complemento , es decir, un elemento b que satisface a  ∨  b  = 1 y a  ∧  b  = 0. No es necesario que los complementos sean únicos.

Una celosía relativamente complementada es una celosía tal que cada intervalo [ c ,  d ], visto como una celosía acotada por derecho propio, es una celosía complementada.

Una ortocomplementación en una celosía complementada es una involución que invierte el orden y asigna cada elemento a un complemento. Una celosía ortocomplementada que satisface una forma débil de la ley modular se llama celosía ortomodular .

En las celosías distributivas , los complementos son únicos. Cada celosía distributiva complementada tiene una ortocomplementación única y, de hecho, es un álgebra booleana .

Definición y propiedades básicas

Una celosía complementada es una celosía acotada (con el elemento mínimo 0 y el elemento mayor 1), en la que cada elemento a tiene un complemento , es decir, un elemento b tal que

a ∨ b = 1 y     a ∧ b = 0.

En general, un elemento puede tener más de un complemento. Sin embargo, en una red distributiva (acotada) cada elemento tendrá como máximo un complemento. ^[1] Una celosía en la que cada elemento tiene exactamente un complemento se llama celosía complementada de forma única ^[2]

Una celosía con la propiedad de que cada intervalo (visto como una subred) se complementa se llama celosía relativamente complementada . En otras palabras, una celosía relativamente complementada se caracteriza por la propiedad de que para cada elemento a en un intervalo [ c , d ] hay un elemento b tal que

a ∨ b = d     y     a ∧ b = c .

Tal elemento b se llama complemento de a relativo al intervalo.

Una red distributiva se complementa si y solo si está acotada y relativamente complementada. ^{[3] [4]} La celosía de subespacios de un espacio vectorial proporciona un ejemplo de una celosía complementada que, en general, no es distributiva.

Ortocomplementación

Véase también: Álgebra de De Morgan

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Una ortocomplementación en una celosía acotada es una función que asigna cada elemento a a un "ortocomplemento" a ^⊥ de tal manera que se satisfacen los siguientes axiomas: ^[5]

Ley de complemento

a ^⊥ ∨ a = 1 y a ^⊥ ∧ a = 0.

Ley de involución

a ^⊥⊥ = a .

Inversión de pedidos

si a ≤ b entonces b ^⊥ ≤ a ^⊥ .

Una celosía ortocomplementada u ortorejilla es una celosía limitada que está equipada con una ortocomplementación. La celosía de subespacios de un espacio de producto interno y la operación del complemento ortogonal proporcionan un ejemplo de una celosía ortocomplementada que no es, en general, distributiva. ^[6]

• Algunas celosías complementadas
• En la red del pentágono N ₅ , el nodo del lado derecho tiene dos complementos.

• La celosía de diamante M ₃ no admite ortocomplementación.

• La celosía M ₄ admite 3 ortocomplementaciones.

• La celosía hexagonal admite una ortocomplementación única, pero no se complementa de forma única.

Las álgebras booleanas son un caso especial de celosías ortocomplementadas, que a su vez son un caso especial de celosías complementadas (con estructura extra). Las orto-redes se utilizan con mayor frecuencia en la lógica cuántica , donde los subespacios cerrados de un espacio de Hilbert separable representan proposiciones cuánticas y se comportan como una red ortocomplementada.

Las celosías ortocomplementadas, como las álgebras de Boole, satisfacen las leyes de Morgan :

• ( a ∨ b ) ^⊥ = a ^⊥ ∧ b ^⊥
• ( Una ∧ b ) ^⊥ = un ^⊥ ∨ b ^⊥ .

Celosías ortomodulares

Un enrejado se llama modular si para todos los elementos de un , b y c la implicación

si a ≤ c , entonces a ∨ ( b ∧ c ) = ( a ∨ b ) ∧ c

sostiene. Esto es más débil que la distributividad ; por ejemplo, la celosía M ₃ mostrada anteriormente es modular, pero no distributiva. Un debilitamiento natural adicional de esta condición para las celosías ortocomplementadas, necesarias para aplicaciones en lógica cuántica, es requerirlo solo en el caso especial b = a ^⊥ . Un enrejado orthomodular por lo tanto se define como un orthocomplemented celosía de tal modo que para cualquier par de elementos de la implicación

si a ≤ c , entonces a ∨ ( a ^⊥ ∧ c ) = c

sostiene.

Las celosías de esta forma son de crucial importancia para el estudio de la lógica cuántica , ya que son parte de la axiomización de la formulación espacial de Hilbert de la mecánica cuántica . Garrett Birkhoff y John von Neumann observaron que el cálculo proposicional en lógica cuántica es "formalmente indistinguible del cálculo de subespacios lineales [de un espacio de Hilbert] con respecto al conjunto de productos, sumas lineales y complementos ortogonales" correspondientes a los roles de y , o y no en celosías booleanas. Esta observación ha despertado el interés en los subespacios cerrados de un espacio de Hilbert, que forman una celosía ortomodular. ^[7]

Ver también

• Celosía pseudocomplementada

Notas

1. Grätzer (1971), Lema I.6.1, p. 47. Rutherford (1965), Teorema 9.3 p. 25.
2. Stern, Manfred (1999), Celosías semimodulares: teoría y aplicaciones , Enciclopedia de las matemáticas y sus aplicaciones, Cambridge University Press, p. 29, ISBN 9780521461054.
3. Grätzer (1971), Lema I.6.2, p. 48. Este resultado es más general para las celosías modulares, consulte el ejercicio 4, p. 50.
4. Birkhoff (1961), Corolario IX.1, p. 134
5. Stern (1999) , p. 11.
6. El matemático sin complejos: complementos ortogonales y el entramado de subespacios .
7. Ranganathan Padmanabhan; Sergiu Rudeanu (2008). Axiomas para celosías y álgebras booleanas . World Scientific. pag. 128. ISBN 978-981-283-454-6.

Referencias

• Birkhoff, Garrett (1961). Teoría de celosía . Sociedad Matemática Estadounidense.
• Grätzer, George (1971). Teoría de la celosía: Primeros conceptos y celosías distributivas . WH Freeman and Company. ISBN 978-0-7167-0442-3.
• Grätzer, George (1978). Teoría general de la celosía . Basilea, Suiza: Birkhäuser. ISBN 978-0-12-295750-5.
• Rutherford, Daniel Edwin (1965). Introducción a la teoría de celosía . Oliver y Boyd.

enlaces externos

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• "Celosía complementada" . PlanetMath .
• "Complemento relativo" . PlanetMath .
• "Celosía complementada de forma única" . PlanetMath .
• "Celosía ortocomplementada" . PlanetMath .