Teorema de Oseledets

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En matemáticas , el teorema ergódico multiplicativo o teorema de Oseledets proporciona la base teórica para el cálculo de exponentes de Lyapunov de un sistema dinámico no lineal . Fue probado por Valery Oseledets (también escrito "Oseledec") en 1965 y presentado en el Congreso Internacional de Matemáticas en Moscú en 1966. MS Raghunathan encontró una prueba conceptualmente diferente del teorema ergódico multiplicativo . ^{[ cita requerida ]} El teorema se ha extendido a grupos de Lie semisimplede VA Kaimanovich y generalizado en las obras de David Ruelle , Grigory Margulis , Anders Karlsson y François Ledrappier . ^{[ cita requerida ]}

El teorema ergódico multiplicativo se establece en términos de ciclos de matrices de un sistema dinámico. El teorema establece las condiciones para la existencia de los límites definitorios y describe los exponentes de Lyapunov. No aborda la tasa de convergencia.

donde X y T (con T = Z⁺ o T = R⁺ ) son el espacio de fase y el rango de tiempo, respectivamente, del sistema dinámico, e I _n es la matriz unitaria n- dimensional. La dimensión n de las matrices C no está relacionada con el espacio de la fase X .

Sea μ una medida invariante ergódica en X y C un cociclo del sistema dinámico tal que para cada t  ∈  T , los mapas y son L ¹ -integrables con respecto a  μ . Entonces para μ -casi todo x y cada vector distinto de cero u  ∈  R ⁿ el límite${\ Displaystyle x \ rightarrow \ log \ | C (x, t) \ |}$${\ Displaystyle x \ rightarrow \ log \ | C (x, t) ^ {- 1} \ |}$

existe y asume, dependiendo de u pero no de x , hasta n valores diferentes. Estos son los exponentes de Lyapunov.

Además, si λ ₁ > ...> λ _m son los límites diferentes, entonces hay subespacios R ⁿ = R ₁ ⊃ ... ⊃ R _m ⊃ R _{m +1} = {0} tal que el límite es λ _i para u  ∈  R _i  \  R _{i +1} y  yo  = 1, ...,  m .

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