En matemáticas, el exponente de Lyapunov o exponente característico de Lyapunov de un sistema dinámico es una cantidad que caracteriza la tasa de separación de trayectorias infinitesimalmente cercanas . Cuantitativamente, dos trayectorias en el espacio de fase con vector de separación inicial divergen (siempre que la divergencia pueda tratarse dentro de la aproximación linealizada) a una tasa dada por
dónde es el exponente de Lyapunov.
La tasa de separación puede ser diferente para diferentes orientaciones del vector de separación inicial. Por tanto, hay un espectro de exponentes de Lyapunov, igual en número a la dimensionalidad del espacio de fase. Es común referirse al más grande como el máximo exponente de Lyapunov (MLE), porque determina una noción de predictibilidad para un sistema dinámico. Un MLE positivo generalmente se toma como una indicación de que el sistema es caótico (siempre que se cumplan algunas otras condiciones, por ejemplo, compacidad del espacio de fase). Tenga en cuenta que un vector de separación inicial arbitrario generalmente contendrá algún componente en la dirección asociada con el MLE y, debido a la tasa de crecimiento exponencial, el efecto de los otros exponentes se eliminará con el tiempo.
El exponente lleva el nombre de Aleksandr Lyapunov .
Definición del máximo exponente de Lyapunov
El exponente máximo de Lyapunov se puede definir de la siguiente manera:
El límite asegura la validez de la aproximación lineal en cualquier momento. [1]
Para sistema de tiempo discreto (mapas o iteraciones de punto fijo) , para una órbita que comienza con esto se traduce en:
Definición del espectro de Lyapunov
Para un sistema dinámico con ecuación de evolución en un espacio de fase n- dimensional, el espectro de exponentes de Lyapunov
en general, depende del punto de partida . Sin embargo, normalmente nos interesará el atractor (o atractores) de un sistema dinámico, y normalmente habrá un conjunto de exponentes asociados con cada atractor. La elección del punto de partida puede determinar en qué atractor termina el sistema, si hay más de uno. (Para los sistemas hamiltonianos, que no tienen atractores, esto no es una preocupación). Los exponentes de Lyapunov describen el comportamiento de los vectores en el espacio tangente del espacio de fase y se definen a partir de la matriz jacobiana
este jacobiano define la evolución de los vectores tangentes, dada por la matriz , a través de la ecuación
con la condición inicial . La matriz describe cómo un pequeño cambio en el punto se propaga hasta el punto final . El límite
define una matriz (las condiciones para la existencia del límite están dadas por el teorema de Oseledets ). Los exponentes de Lyapunov están definidos por los valores propios de .
El conjunto de exponentes de Lyapunov será el mismo para casi todos los puntos de partida de un componente ergódico del sistema dinámico.
Exponente de Lyapunov para linealización variable en el tiempo
Para introducir el exponente de Lyapunov, considere una matriz fundamental (por ejemplo, para linealización a lo largo de una solución estacionaria en un sistema continuo, la matriz fundamental es que consta de las soluciones linealmente independientes de la aproximación de primer orden del sistema. Los valores singulares de la matriz son las raíces cuadradas de los valores propios de la matriz . El mayor exponente de Lyapunoves el siguiente [2]
AM Lyapunov demostró que si el sistema de la primera aproximación es regular (por ejemplo, todos los sistemas con coeficientes constantes y periódicos son regulares) y su mayor exponente de Lyapunov es negativo, entonces la solución del sistema original es asintóticamente estable en Lyapunov . Posteriormente, O. Perron afirmó que el requisito de regularidad de la primera aproximación es sustancial.
Efectos escalonados de la mayor inversión del signo del exponente de Lyapunov
En 1930 O. Perron construyó un ejemplo de un sistema de segundo orden, donde la primera aproximación tiene exponentes de Lyapunov negativos a lo largo de una solución cero del sistema original pero, al mismo tiempo, esta solución cero del sistema no lineal original es Lyapunov inestable. Además, en un cierto vecindario de esta solución cero, casi todas las soluciones del sistema original tienen exponentes de Lyapunov positivos. Además, es posible construir un ejemplo inverso en el que la primera aproximación tiene exponentes de Lyapunov positivos a lo largo de una solución cero del sistema original pero, al mismo tiempo, esta solución cero del sistema no lineal original es estable de Lyapunov. [3] [4] El efecto de inversión de signo de los exponentes de Lyapunov de las soluciones del sistema original y el sistema de primera aproximación con los mismos datos iniciales se denominó posteriormente efecto Perron. [3] [4]
El contraejemplo de Perron muestra que un mayor exponente de Lyapunov negativo no indica, en general, estabilidad, y que un exponente de Lyapunov positivo más grande no indica, en general, caos.
Por lo tanto, la linealización variable en el tiempo requiere una justificación adicional. [4]
Propiedades básicas
Si el sistema es conservador (es decir, no hay disipación ), un elemento de volumen del espacio de fase permanecerá igual a lo largo de una trayectoria. Por tanto, la suma de todos los exponentes de Lyapunov debe ser cero. Si el sistema es disipativo, la suma de los exponentes de Lyapunov es negativa.
Si el sistema es un flujo y la trayectoria no converge a un solo punto, un exponente es siempre cero: el exponente de Lyapunov correspondiente al valor propio de con un vector propio en la dirección del flujo.
Importancia del espectro de Lyapunov
El espectro de Lyapunov se puede utilizar para dar una estimación de la tasa de producción de entropía, de la dimensión fractal y de la dimensión de Hausdorff del sistema dinámico considerado . [5] Particularmente a partir del conocimiento del espectro de Lyapunov es posible obtener la denominada dimensión de Lyapunov (o dimensión de Kaplan-Yorke ), que se define de la siguiente manera:
dónde es el número entero máximo tal que la suma de la exponentes más grandes sigue siendo no negativo. representa un límite superior para la dimensión de información del sistema. [6] Además, la suma de todos los exponentes positivos de Lyapunov da una estimación de la entropía de Kolmogorov-Sinai de acuerdo con el teorema de Pesin. [7] Junto con los métodos numéricos ampliamente utilizados para estimar y calcular la dimensión de Lyapunov, existe un enfoque analítico eficaz, que se basa en el método directo de Lyapunov con funciones especiales similares a las de Lyapunov. [8] Los exponentes de Lyapunov de trayectoria acotada y la dimensión de Lyapunov del atractor son invariantes bajo difeomorfismo del espacio de fase. [9]
El inverso multiplicativo del mayor exponente de Lyapunov se conoce a veces en la literatura como tiempo de Lyapunov y define el tiempo de plegado electrónico característico . Para órbitas caóticas, el tiempo de Lyapunov será finito, mientras que para órbitas regulares será infinito.
Cálculo numérico
Generalmente, el cálculo de los exponentes de Lyapunov, como se definió anteriormente, no se puede realizar analíticamente y, en la mayoría de los casos, se debe recurrir a técnicas numéricas. Un ejemplo temprano, que también constituyó la primera demostración de la divergencia exponencial de trayectorias caóticas, fue llevado a cabo por RH Miller en 1964. [10] Actualmente, el procedimiento numérico más comúnmente utilizado estima la matriz basada en promediar varias aproximaciones de tiempo finito del límite que define .
Una de las técnicas numéricas más utilizadas y efectivas para calcular el espectro de Lyapunov para un sistema dinámico suave se basa en la ortonormalización periódica de Gram-Schmidt de los vectores de Lyapunov para evitar una desalineación de todos los vectores a lo largo de la dirección de expansión máxima. [11] [12] [13] [14]
Para el cálculo de exponentes de Lyapunov a partir de datos experimentales limitados, se han propuesto varios métodos. Sin embargo, existen muchas dificultades para aplicar estos métodos y tales problemas deben abordarse con cuidado. La principal dificultad es que los datos no exploran completamente el espacio de fase, sino que se limitan al atractor, que tiene una extensión muy limitada (si la hay) a lo largo de ciertas direcciones. Estas direcciones más delgadas o más singulares dentro del conjunto de datos son las asociadas con los exponentes más negativos. Se ha demostrado que el uso de mapeos no lineales para modelar la evolución de pequeños desplazamientos del atractor mejora drásticamente la capacidad de recuperar el espectro de Lyapunov, [15] [16] siempre que los datos tengan un nivel de ruido muy bajo. También se ha explorado la naturaleza singular de los datos y su conexión con los exponentes más negativos. [17]
Exponente local de Lyapunov
Mientras que el exponente de Lyapunov (global) da una medida de la predictibilidad total de un sistema, a veces es interesante estimar la predictibilidad local alrededor de un punto x 0 en el espacio de fase. Esto se puede hacer a través de los valores propios de la matriz jacobiana J 0 ( x 0 ). Estos valores propios también se denominan exponentes locales de Lyapunov. [18] (Una advertencia: a diferencia de los exponentes globales, estos exponentes locales no son invariantes bajo un cambio no lineal de coordenadas).
Exponente de Lyapunov condicional
Este término se usa normalmente con respecto a la sincronización del caos , en la que hay dos sistemas que están acoplados, generalmente de manera unidireccional, de modo que hay un sistema de impulsión (o maestro) y un sistema de respuesta (o esclavo). Los exponentes condicionales son los del sistema de respuesta con el sistema de excitación tratado simplemente como la fuente de una señal de excitación (caótica). La sincronización ocurre cuando todos los exponentes condicionales son negativos. [19]
Ver también
- Mezcla caótica para una derivación alternativa
- La conjetura de Eden sobre la dimensión de Lyapunov
- Teoría de floquet
- Teorema de Liouville (hamiltoniano)
- Dimensión de Lyapunov
- Tiempo de Lyapunov
- Análisis de cuantificación de recurrencia
- Teorema de Oseledets
Referencias
- ↑ Cencini, M .; et al. (2010). World Scientific (ed.). Caos De modelos simples a sistemas complejos . ISBN 978-981-4277-65-5.
- ^ Temam, R. (1988). Sistemas dinámicos de dimensión infinita en mecánica y física . Cambridge: Springer-Verlag.
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- ^ Ver, por ejemplo, Pecora, LM; Carroll, TL; Johnson, GA; Mar, DJ; Heagy, JF (1997). "Fundamentos de la sincronización en sistemas, conceptos y aplicaciones caóticos". Caos: una revista interdisciplinaria de ciencia no lineal . 7 (4): 520–543. Código bibliográfico : 1997Chaos ... 7..520P . doi : 10.1063 / 1.166278 . PMID 12779679 .
Otras lecturas
- Kuznetsov, Nikolay; Reitmann, Volker (2020). Estimaciones de la dimensión del atractor para sistemas dinámicos: teoría y cálculo . Cham: Springer.
- M.-F. Danca y NV Kuznetsov (2018). "Código de Matlab para exponentes de Lyapunov de sistemas de orden fraccional". Revista Internacional de Bifurcación y Caos . 25 (5): art. num. 1850067. arXiv : 1804.01143 . doi : 10.1142 / S0218127418500670 .
- Cvitanović P., Artuso R., Mainieri R., Tanner G. y Vattay G. Chaos: Classical and Quantum Niels Bohr Institute, Copenhague 2005 - libro de texto sobre el caos disponible bajo licencia de documentación libre
- Freddy Christiansen y Hans Henrik Rugh (1997). "Cálculo de espectros de Lyapunov con ortonormalización continua de Gram-Schmidt" . No linealidad . 10 (5): 1063–1072. arXiv : chao-dyn / 9611014 . Código Bibliográfico : 1997Nonli..10.1063C . doi : 10.1088 / 0951-7715 / 10/5/004 . S2CID 122976405 . Archivado desde el original el 25 de abril de 2006.
- Salman Habib y Robert D. Ryne (1995). "Cálculo simpléctico de exponentes de Lyapunov". Cartas de revisión física . 74 (1): 70–73. arXiv : chao-dyn / 9406010 . Código Bibliográfico : 1995PhRvL..74 ... 70H . doi : 10.1103 / PhysRevLett.74.70 . PMID 10057701 . S2CID 19203665 .
- Govindan Rangarajan; Salman Habib y Robert D. Ryne (1998). "Exponentes de Lyapunov sin reescalado y reortogonalización". Cartas de revisión física . 80 (17): 3747–3750. arXiv : chao-dyn / 9803017 . Código Bibliográfico : 1998PhRvL..80.3747R . doi : 10.1103 / PhysRevLett.80.3747 . S2CID 14483592 .
- X. Zeng; R. Eykholt y RA Pielke (1991). "Estimación del espectro de exponente de Lyapunov a partir de series de tiempo corto de baja precisión". Cartas de revisión física . 66 (25): 3229–3232. Código Bibliográfico : 1991PhRvL..66.3229Z . doi : 10.1103 / PhysRevLett.66.3229 . PMID 10043734 .
- E Aurell; G Boffetta; A Crisanti; G Paladin; A Vulpiani (1997). "Previsibilidad en lo grande: una extensión del concepto de exponente de Lyapunov". J. Phys. A: Matemáticas. Gen . 30 (1): 1–26. arXiv : chao-dyn / 9606014 . Código Bibliográfico : 1997JPhA ... 30 .... 1A . doi : 10.1088 / 0305-4470 / 30/1/003 . S2CID 54697488 .
- F Ginelli; P Poggi; A Turchi; H Chaté; R Livi; A Politi (2007). "Caracterización de la dinámica con vectores covariantes de Lyapunov" (PDF) . Cartas de revisión física . 99 (13): 130601. arXiv : 0706.0510 . Código bibliográfico : 2007PhRvL..99m0601G . doi : 10.1103 / PhysRevLett.99.130601 . hdl : 2158/253565 . PMID 17930570 . S2CID 21992110 . Archivado desde el original (PDF) el 31 de octubre de 2008.
Software
- [1] R. Hegger, H. Kantz y T. Schreiber, Análisis de series de tiempo no lineales, TISEAN 3.0.1 (marzo de 2007).
- [2] El producto ChaosKit de Scientio calcula los exponentes de Lyapunov entre otras medidas caóticas. El acceso se proporciona en línea a través de un servicio web y una demostración de Silverlight.
- [3] [ enlace muerto permanente ] El laboratorio de software de recreaciones matemáticas del Dr. Ronald Joe Record incluye un cliente gráfico X11, lyap, para explorar gráficamente los exponentes de Lyapunov de un mapa logístico forzado y otros mapas del intervalo unitario. Los contenidos y las páginas del manual [ enlace muerto permanente ] del laboratorio de software mathrec también están disponibles.
- [4] El software de esta página se desarrolló específicamente para el cálculo eficiente y preciso del espectro completo de exponentes. Esto incluye LyapOde para casos donde se conocen las ecuaciones de movimiento y también Lyap para casos que involucran datos de series de tiempo experimentales. LyapOde, que incluye código fuente escrito en "C", también puede calcular los exponentes condicionales de Lyapunov para sistemas idénticos acoplados. Su objetivo es permitir al usuario proporcionar su propio conjunto de ecuaciones de modelo o utilizar una de las incluidas. No hay limitaciones inherentes en el número de variables, parámetros, etc. Lyap, que incluye código fuente escrito en Fortran, también puede calcular los vectores de dirección de Lyapunov y puede caracterizar la singularidad del atractor, que es la principal razón de las dificultades para calcular más exponentes negativos de datos de series de tiempo. En ambos casos existe una amplia documentación y archivos de entrada de muestra. El software se puede compilar para ejecutarse en sistemas Windows, Mac o Linux / Unix. El software se ejecuta en una ventana de texto y no tiene capacidades gráficas, pero puede generar archivos de salida que podrían trazarse fácilmente con un programa como Excel.
enlaces externos
- Efectos de Perron de las inversiones de signo de exponente de Lyapunov