Teorema de ostrowski

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En teoría de números , el teorema de Ostrowski , debido a Alexander Ostrowski (1916), establece que todo valor absoluto no trivial en los números racionales es equivalente al valor absoluto real habitual o un valor absoluto p -ádico . ^[1]${\ Displaystyle \ mathbb {Q}}$

Elevar un valor absoluto a una potencia menor que 1 siempre da como resultado otro valor absoluto. Dos valores absolutos y en un campo K se definen como equivalentes si existe un número real c > 0 tal que${\ Displaystyle | \ cdot |}$${\ Displaystyle | \ cdot | _ {*}}$

El valor absoluto real de los racionales es el valor absoluto estándar de los reales, definido como${\ Displaystyle \ mathbb {Q}}$

Para un número primo p , el p -adic valor absoluto en se define como sigue: cualquier no-cero racional x puede escribirse de manera única como , donde un y b son números primos entre sí no es divisible por p , y n es un número entero; así que definimos${\ Displaystyle \ mathbb {Q}}$${\ Displaystyle x = p ^ {n} {\ tfrac {a} {b}}}$

Considere un valor absoluto no trivial en los racionales . Consideramos dos casos:${\ Displaystyle (\ mathbb {Q}, | \ cdot | _ {*})}$

Basta con considerar la valoración de números enteros mayores que uno. Porque, si encontramos para cuál para todos los naturales mayor que uno, entonces esta relación se cumple trivialmente para 0 y 1, y para los racionales positivos${\ Displaystyle c \ in \ mathbb {R} _ {+}}$${\ Displaystyle | n | _ {*} = | n | _ {**} ^ {c}}$

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