En matemáticas , una matriz P es una matriz cuadrada compleja con cada menor principal > 0. Una clase estrechamente relacionada es la de-matrices, que son el cierre de la clase de P -matrices, con cada principal menor 0.
Espectros de matrices P
Por un teorema de Kellogg, [1] [2] los valores propios de P - y- las matrices están delimitadas desde una cuña alrededor del eje real negativo de la siguiente manera:
- Si son los valores propios de una matriz P n - dimensional, donde , luego
- Si , , son los valores propios de un n- dimensional -matriz, luego
Observaciones
La clase de matrices M no singulares es un subconjunto de la clase de matrices P. Más precisamente, todas las matrices que son ambos P Matrices y moldes Z -matrices son no singulares M -matrices. La clase de matrices suficientes es otra generalización de las matrices P. [3]
El problema de la complementariedad lineal tiene una solución única para cada vector q si y solo si M es una matriz P. [4] Esto implica que si M es un P -matrix, entonces M es un Q -matrix .
Si el jacobiano de una función es una matriz P , entonces la función es inyectiva en cualquier región rectangular de. [5]
Una clase de interés relacionada, particularmente con referencia a la estabilidad, es la de -matrices, a veces también denominadas -matrices. Una matriz A es una-matriz si y solo si es una matriz P (de manera similar para-matrices). Desde, los valores propios de estas matrices están delimitados con respecto al eje real positivo .
Ver también
Notas
- ^ Kellogg, RB (abril de 1972). "Sobre valores propios complejos de matrices M y P". Numerische Mathematik . 19 (2): 170-175. doi : 10.1007 / BF01402527 .
- ^ Fang, Li (julio de 1989). "Sobre los espectros de matrices P y P0" . Álgebra lineal y sus aplicaciones . 119 : 1–25. doi : 10.1016 / 0024-3795 (89) 90065-7 .
- ^ Csizmadia, Zsolt; Illés, Tibor (2006). "Nuevos algoritmos de tipo cruzado para problemas de complementariedad lineal con matrices suficientes" (pdf) . Métodos y software de optimización . 21 (2): 247–266. doi : 10.1080 / 10556780500095009 . Señor 2195759 .
- ^ Murty, Katta G. (enero de 1972). "Sobre el número de soluciones al problema de la complementariedad y las propiedades que atraviesan los conos complementarios" (PDF) . Álgebra lineal y sus aplicaciones . 5 (1): 65–108. doi : 10.1016 / 0024-3795 (72) 90019-5 . hdl : 2027,42 / 34188 .
- ^ Gale, David; Nikaido, Hukukane (10 de diciembre de 2013). "La matriz jacobiana y la univalencia global de mapeos". Mathematische Annalen . 159 (2): 81–93. doi : 10.1007 / BF01360282 .
Referencias
- Csizmadia, Zsolt; Illés, Tibor (2006). "Nuevos algoritmos de tipo cruzado para problemas de complementariedad lineal con matrices suficientes" (pdf) . Métodos y software de optimización . 21 (2): 247–266. doi : 10.1080 / 10556780500095009 . Señor 2195759 .
- David Gale y Hukukane Nikaido , La matriz jacobiana y la univalencia global de asignaciones, Matemáticas. Ana. 159: 81-93 (1965) doi : 10.1007 / BF01360282
- Li Fang, Sobre los espectros de P - y-Matrices, álgebra lineal y sus aplicaciones 119: 1-25 (1989)
- RB Kellogg, Sobre valores propios complejos de matrices M y P , Numer. Matemáticas. 19: 170-175 (1972)