En matemáticas , especialmente en álgebra lineal , una matriz M es una matriz Z con valores propios cuyas partes reales no son negativas. El conjunto de matrices M no singulares es un subconjunto de la clase de matrices P , y también de la clase de matrices positivas inversas (es decir, matrices con inversas que pertenecen a la clase de matrices positivas ). [1] El nombre M -matrix fue aparentemente elegido originalmente por Alexander Ostrowski en referencia a Hermann Minkowski., quien demostró que si una matriz Z tiene todas sus sumas de fila positivas, entonces el determinante de esa matriz es positivo. [2]
Caracterizaciones
Una matriz M se define comúnmente de la siguiente manera:
Definición: Sea A una matriz Z real n × n . Es decir, A = ( a ij ) donde a ij ≤ 0 para todo i ≠ j , 1 ≤ i, j ≤ n . Entonces la matriz A es también una matriz M si se puede expresar en la forma A = sI - B , donde B = ( b ij ) con b ij ≥ 0 , para todo 1 ≤ i, j ≤ n , donde s está en al menos tan grande como el máximo de los módulos de los valores propios de B , e I es una matriz de identidad.
Para la no singularidad de A , según el teorema de Perron-Frobenius , debe darse el caso de que s > ρ ( B ) . Además, para una matriz M no singular, los elementos diagonales a ii de A deben ser positivos. Aquí caracterizaremos aún más solo la clase de matrices M no singulares.
Se conocen muchos enunciados que son equivalentes a esta definición de matrices M no singulares, y cualquiera de estos enunciados puede servir como una definición inicial de una matriz M no singular. [3] Por ejemplo, Plemmons enumera 40 equivalencias de este tipo. [4] Estas caracterizaciones han sido categorizadas por Plemmons en términos de sus relaciones con las propiedades de: (1) positividad de los menores principales, (2) positividad inversa y escisiones, (3) estabilidad y (4) semipositividad y dominancia diagonal. . Tiene sentido categorizar las propiedades de esta manera porque las declaraciones dentro de un grupo particular están relacionadas entre sí incluso cuando la matriz A es una matriz arbitraria, y no necesariamente una matriz Z. Aquí mencionamos algunas caracterizaciones de cada categoría.
Equivalencias
A continuación, ≥ denota el orden por elementos (no el orden semidefinito positivo habitual en las matrices). Es decir, para cualquier matriz real A , B de tamaño m × n , escribimos A ≥ B (o A > B ) si a ij ≥ b ij (o a ij > b ij ) para todo i , j .
Sea A una matriz Z real n × n , entonces las siguientes afirmaciones son equivalentes a que A sea una matriz M no singular :
Positividad de los menores principales
- Todos los menores principales de A son positivos. Es decir, el determinante de cada submatriz de A obtenido al eliminar un conjunto, posiblemente vacío, de filas y columnas correspondientes de A es positivo.
- A + D es no singular para cada no negativo matriz diagonal D .
- Todo valor propio real de A es positivo.
- Todos los principales menores principales de A son positivos.
- Existen matrices triangulares inferior y superior L y U respectivamente, con diagonales positivas, tales que A = LU .
Positividad inversa y escisiones
- A es positivo inverso . Es decir, A −1 existe y A −1 ≥ 0 .
- A es monótona . Es decir, Ax ≥ 0 implica que x ≥ 0 .
- A tiene una división regular convergente . Es decir, A tiene una representación A = M - N , donde M −1 ≥ 0, N ≥ 0 con M −1 N convergente . Es decir, ρ ( M −1 N ) <1 .
- Existen matrices positivas inversas M 1 y M 2 con M 1 ≤ A ≤ M 2 .
- Toda división regular de A es convergente.
Estabilidad
- Existe una matriz diagonal positiva D tal que AD + DA T es positiva definida.
- A es estable positivo . Es decir, la parte real de cada valor propio de A es positiva.
- Existe una matriz definida positiva simétrica W tal que AW + WA T es definida positiva.
- A + I no es singular y G = ( A + I ) −1 ( A - I ) es convergente.
- A + I no es singular, y para G = ( A + I ) −1 ( A - I ) , existe una matriz simétrica definida positiva W tal que W - G T WG es definida positiva.
Semipositividad y dominancia diagonal
- A es semi-positivo . Es decir, existe x > 0 con Ax > 0 .
- Existe x ≥ 0 con Ax > 0 .
- Existe una matriz diagonal positiva D tal que AD tiene todas las sumas de fila positivas.
- A tiene todos los elementos diagonales positivos, y existe una matriz diagonal positiva D tal que AD es estrictamente diagonalmente dominante .
- A tiene todos los elementos diagonales positivos, y existe una matriz diagonal positiva D tal que D −1 AD es estrictamente diagonalmente dominante.
Aplicaciones
Las principales contribuciones a la teoría de la matriz M provienen principalmente de matemáticos y economistas. Las matrices M se utilizan en matemáticas para establecer límites en valores propios y en el establecimiento de criterios de convergencia para métodos iterativos para la solución de grandes sistemas dispersos de ecuaciones lineales . Las matrices M surgen naturalmente en algunas discretizaciones de operadores diferenciales , como el laplaciano , y como tales están bien estudiadas en computación científica. Las matrices M también ocurren en el estudio de soluciones al problema de complementariedad lineal . Los problemas de complementariedad lineal surgen en la programación lineal y cuadrática , la mecánica computacional y en el problema de encontrar el punto de equilibrio de un juego de bimatrix . Por último, las matrices M se producen en el estudio de cadenas de Markov finitas en el campo de la teoría de la probabilidad y la investigación de operaciones como la teoría de las colas . Mientras tanto, los economistas han estudiado las matrices M en relación con la sustituibilidad bruta, la estabilidad de un equilibrio general y el análisis de insumo-producto de Leontief en sistemas económicos. La condición de positividad de todos los menores principales también se conoce como la condición de Hawkins-Simon en la literatura económica. [5] En ingeniería, las matrices M también ocurren en los problemas de estabilidad de Lyapunov y control de retroalimentación en la teoría de control y están relacionadas con la matriz de Hurwitz . En biología computacional , las matrices M ocurren en el estudio de la dinámica de poblaciones .
Ver también
- A es una matriz M no singular débilmente dominante en diagonal si y solo si es una matriz L débilmente encadenada diagonalmente dominante .
- Si A es una matriz M, entonces −A es una matriz de Metzler .
- Una matriz M simétrica no singular a veces se denomina matriz de Stieltjes .
- Matriz de Hurwitz
- Matriz P
- Teorema de Perron-Frobenius
- Matriz Z
- Matriz H
Referencias
- ^ Fujimoto, Takao & Ranade, Ravindra (2004), "Dos caracterizaciones de matrices positivas inversas: la condición de Hawkins-Simon y el principio de Le Chatelier-Braun" (PDF) , Revista electrónica de álgebra lineal , 11 : 59-65.
- ^ Bermon, Abraham; Plemmons, Robert J. (1994), Matrices no negativas en las ciencias matemáticas , Filadelfia: Sociedad de Matemáticas Industriales y Aplicadas, p. 134.161 (Thm. 2.3 y Nota 6.1 del capítulo 6), ISBN 0-89871-321-8.
- ^ Fiedler, M; Ptak, V. (1962), "En matrices con elementos no positivos fuera de la diagonal y menores principales positivos", Checoslovaco Mathematical Journal , 12 (3): 382–400.
- ^ Plemmons, RJ (1977), "Caracterizaciones de matrices M. I - Matrices M no singulares", Álgebra lineal y sus aplicaciones , 18 (2): 175–188, doi : 10.1016 / 0024-3795 (77) 90073-8.
- ^ Nikaido, H. (1970). Introducción a Conjuntos y Mapeos en Economía Moderna . Nueva York: Elsevier. págs. 13-19. ISBN 0-444-10038-5.