Sea m ( m > 0) un número de términos de un polinomio y n ( n ≥ 0) sea una potencia a la que se eleva el polinomio.
Dejar denotar una m de Pascal - simplex . Cada m - simplex de Pascal es un objeto semi-infinito , que consta de una serie infinita de sus componentes.
Dejar denotar su n- ésimo componente, en sí mismo un finito ( m - 1 ) - simplex con la longitud del borde n , con un equivalente en notación.
n- ésimo componente
Consiste en los coeficientes de expansión multinomial de un polinomio con m términos elevados a la potencia de n :
dónde .
Ejemplo para
4-simplex de Pascal (secuencia A189225 en la OEIS ), cortado a lo largo del k 4 . Todos los puntos del mismo color pertenecen al mismo n -ésimo componente, desde el rojo (para n = 0) al azul (para n = 3).
1-simplex de Pascal
no es conocido por ningún nombre especial.
n- ésimo componente
(un punto) es el coeficiente de expansión multinomial de un polinomio con 1 término elevado a la potencia de n :
Disposición de
que es igual a 1 para todos los n .
2-simplex de Pascal
se conoce como triángulo de Pascal (secuencia A007318 en la OEIS ).
n- ésimo componente
(una línea) consta de los coeficientes de expansión binomial de un polinomio con 2 términos elevados a la potencia de n :
Disposición de
3-simplex de Pascal
se conoce como tetraedro de Pascal (secuencia A046816 en la OEIS ).
n- ésimo componente
(un triángulo) consiste en los coeficientes de expansión trinomial de un polinomio con 3 términos elevados a la potencia de n :
Disposición de
Herencia de componentes
es numéricamente igual a cada ( m - 1) -cara (hay m + 1 de ellos) de, o:
De esto se sigue que todo el se incluye ( m + 1) veces en, o:
Ejemplo
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 1 2 1 1 2 1 2 2 1 2 2 2 2 2 1 1 1 1 3 3 1 1 3 3 1 1 3 3 1 3 6 3 3 3 1 3 6 3 3 6 3 6 6 3 3 3 3 3 3 1 1
Para obtener más términos en la matriz anterior, consulte (secuencia A191358 en la OEIS )
Igualdad de sub-caras
En cambio, es ( m + 1) -veces acotado por, o:
De esto se sigue que para n dado , todas las i- caras son numéricamente iguales en n- ésimo componentes de todos los ( m > i ) -simplices de Pascal, o:
Ejemplo
El tercer componente (2-simplex) del 3-simplex de Pascal está limitado por 3 caras iguales (líneas). Cada 1 cara (línea) está delimitada por 2 caras 0 iguales (vértices):
2-simplex 1-caras de 2-simplex 0-caras de 1-cara 1 3 3 1 1. . . . . . 1 1 3 3 1 1. . . . . . 1 3 6 3 3. . . . 3. . . 3 3 3. . 3. . 1 1 1.
Además, para todo my todo n :
Numero de coeficientes
Para el n- ésimo componente (( m - 1) -simplex) del m -simplex de Pascal , el número de coeficientes de expansión multinomial que lo componen viene dado por:
(donde la última es la notación de selección múltiple ). Podemos ver esto sea como una suma del número de coeficientes de un ( n - 1) º componente (( m - 1) -simplex) de Pascal m -simplex con el número de coeficientes de un n º componente (( m - 2) -simplex) de de Pascal ( m - 1) -simplex, o por un número de todas las particiones posibles de un n º poder entre m exponentes.
Ejemplo
Número de coeficientes del n- ésimo componente (( m - 1) -simplex) del m -simplex de Pascal m-simplex | n- ésimo componente | n = 0 | n = 1 | n = 2 | n = 3 | n = 4 | n = 5 |
---|
1-simplex | 0-simplex | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 |
---|
2-simplex | 1-simplex | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
---|
3-simplex | 2-simplex | 1 | 3 | 6 | 10 | 15 | 21 |
---|
4-simplex | 3-simplex | 1 | 4 | 10 | 20 | 35 | 56 |
---|
5 simplex | 4-simplex | 1 | 5 | 15 | 35 | 70 | 126 |
---|
6-simplex | 5 simplex | 1 | 6 | 21 | 56 | 126 | 252 |
---|
Los términos de esta tabla comprenden un triángulo Pascal en el formato de una matriz Pascal simétrica .
Simetría
Un n º componente (( m - 1) -simplex) de de Pascal m (-simplex tiene la m !) - pliegan simetría espacial.
Geometría
Ejes ortogonales en el espacio m-dimensional, vértices del componente en n en cada eje, la punta en [0, ..., 0] para .
Construcción numérica
La n -ésima potencia envuelta de un número grande da instantáneamente el n -ésimo componente del simplex de Pascal.
dónde .