En matemáticas , el teorema multinomial describe cómo expandir la potencia de una suma en términos de potencias de los términos en esa suma. Es la generalización del teorema del binomio de binomios a multinomios.
Para cualquier entero positivo my cualquier entero no negativo n , la fórmula multinomial describe cómo una suma con m términos se expande cuando se eleva a una potencia arbitraria n :
dónde
es un coeficiente multinomial . La suma se toma sobre todas las combinaciones de índices enteros no negativos k 1 a k m de manera que la suma de todos los k i es n . Es decir, para cada término de la expansión, los exponentes de x i deben sumar n . Además, al igual que con el teorema del binomio , las cantidades de la forma x 0 que aparecen se toman como iguales a 1 (incluso cuando x es igual a cero).
En el caso m = 2, este enunciado se reduce al del teorema del binomio.
Ejemplo
La tercera potencia del trinomio a + b + c está dada por
Esto se puede calcular a mano usando la propiedad distributiva de la multiplicación sobre la suma, pero también se puede hacer (quizás más fácilmente) con el teorema multinomial. Es posible "leer" los coeficientes multinomiales de los términos utilizando la fórmula del coeficiente multinomial. Por ejemplo:
- tiene el coeficiente
- tiene el coeficiente
Expresión alternativa
El enunciado del teorema se puede escribir de forma concisa utilizando múltiples índices :
dónde
y
Prueba
Esta demostración del teorema multinomial usa el teorema binomial y la inducción en m .
Primero, para m = 1, ambos lados son iguales a x 1 n ya que solo hay un término k 1 = n en la suma. Para el paso de inducción, suponga que el teorema multinomial se cumple para m . Luego
por la hipótesis de inducción. Aplicando el teorema del binomio al último factor,
que completa la inducción. El último paso sigue porque
como se puede ver fácilmente escribiendo los tres coeficientes usando factoriales de la siguiente manera:
Los números
que aparecen en el teorema son los coeficientes multinomiales . Se pueden expresar de numerosas formas, incluso como producto de coeficientes binomiales o de factoriales :
Suma de todos los coeficientes multinomiales
La sustitución de x i = 1 por todo i en el teorema multinomial
da inmediatamente que
Número de coeficientes multinomiales
El número de términos en una suma multinomial, # n , m , es igual al número de monomios de grado n en las variables x 1 ,…, x m :
El recuento se puede realizar fácilmente utilizando el método de estrellas y barras .
Valoración de coeficientes multinomiales
El poder más grande de un primo que divide un coeficiente multinomial se puede calcular usando una generalización del teorema de Kummer .
Formas de poner objetos en contenedores
Los coeficientes multinomiales tienen una interpretación combinatoria directa, como el número de formas de depositar n objetos distintos en m contenedores distintos, con k 1 objetos en el primer contenedor, k 2 objetos en el segundo contenedor, y así sucesivamente. [1]
Número de formas de seleccionar según una distribución
En mecánica estadística y combinatoria, si uno tiene una distribución numérica de etiquetas, los coeficientes multinomiales surgen naturalmente de los coeficientes binomiales. Dada una distribución de números { n i } en un conjunto de N elementos totales, n i representa el número de elementos a los que se les dará la etiqueta i . (En mecánica estadística, i es la etiqueta del estado energético).
El número de arreglos se encuentra por
- Elegir n 1 del total de N para ser etiquetado 1. Esto se puede hacer formas.
- De los N - n 1 elementos restantes , elija n 2 para etiquetar 2. Esto se puede hacer formas.
- De los N - n 1 - n 2 elementos restantes , elija n 3 para etiquetar 3. Nuevamente, esto se puede hacer formas.
Multiplicar el número de opciones en cada paso da como resultado:
La cancelación da como resultado la fórmula dada anteriormente.
Número de permutaciones únicas de palabras
El coeficiente multinomial es también el número de maneras distintas para permutar un conjunto múltiple de n elementos, donde k i es la multiplicidad de cada uno de los i -ésimo elemento. Por ejemplo, el número de permutaciones distintas de las letras de la palabra MISSISSIPPI, que tiene 1 M, 4 Is, 4 Ss y 2 Ps, es
Triángulo de Pascal generalizado
Se puede usar el teorema multinomial para generalizar el triángulo de Pascal o la pirámide de Pascal al simplex de Pascal . Esto proporciona una forma rápida de generar una tabla de búsqueda de coeficientes multinomiales.