Patológico (matemáticas)

Fenómenos matemáticos cuyas propiedades son contradictorias

"Bien portado" vuelve a dirigir aquí. No debe confundirse con buen comportamiento .

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La función de Weierstrass es continua en todas partes, pero no diferenciable en ninguna parte.

En matemáticas , un objeto patológico es aquel que posee propiedad desviada, irregular o contraintuitiva, de tal manera que lo distingue de lo que se concibe como un objeto típico en la misma categoría. Lo contrario de patológico es de buen comportamiento . ^{[1] [2] [3]}

En análisis

Un ejemplo clásico de estructura patológica es la función Weierstrass , que es continua en todas partes pero no diferenciable en ninguna parte. ^[2] La suma de una función diferenciable y la función de Weierstrass es nuevamente continua pero no diferenciable en ninguna parte; por lo que hay al menos tantas funciones como funciones diferenciables. De hecho, según el teorema de la categoría de Baire , se puede demostrar que las funciones continuas no son generalmente diferenciables en ninguna parte. ^[4]

En términos sencillos, la mayoría de las funciones no son diferenciables en ninguna parte, y relativamente pocas pueden describirse o estudiarse. En general, la mayoría de las funciones útiles también tienen algún tipo de base física o aplicación práctica, lo que significa que no pueden ser patológicas al nivel de las matemáticas duras o la lógica; aparte de ciertos casos limitantes como la distribución delta , tienden a ser bastante intuitivos y de buen comportamiento . Para citar a Henri Poincaré :

La lógica a veces crea monstruos. Durante medio siglo hemos visto una gran cantidad de funciones extrañas que parecen estar obligadas a parecerse lo menos posible a funciones honestas que tienen algún propósito. Más de continuidad, o menos de continuidad, más derivadas, etc. De hecho, desde el punto de vista de la lógica, estas funciones extrañas son las más generales; en cambio, aquellos que se encuentran sin buscarlos y que siguen leyes simples aparecen como un caso particular que no pasa de un pequeño rincón.

En tiempos pasados, cuando uno inventaba una nueva función era con un propósito práctico; hoy se los inventa a propósito para mostrar defectos en el razonamiento de nuestros padres y de ellos sólo se deducirá eso.

Si la lógica fuera la única guía del profesor, habría que empezar por las funciones más generales, es decir, por las más extravagantes. Es el principiante el que tendría que enfrentarse a este museo teratológico .

-  Henri Poincaré , 1899 ^{[ vago ]}

Esto resalta el hecho de que el término patológico (y en consecuencia, la palabra de buen comportamiento ) es subjetivo, depende del contexto y está sujeto a desaparecer. ^[1] Su significado en cualquier caso particular reside en la comunidad de matemáticos, y no necesariamente dentro de las matemáticas mismas. Además, la cita muestra cómo las matemáticas a menudo progresan a través de contraejemplos de lo que se cree intuitivo o esperado. Por ejemplo, la "falta de derivados" mencionada está íntimamente relacionada con el estudio actual de los eventos de reconexión magnética en el plasma solar . ^{[ cita requerida ]}

En topología

Una de las patologías más notorias en topología es la esfera con cuernos de Alexander , un contraejemplo que muestra que la incrustación topológica de la esfera S ² en R ³ puede fallar en la separación limpia del espacio. Como contraejemplo, motivó la condición adicional de mansedumbre , que suprime el tipo de comportamiento salvaje que exhibe la esfera con cuernos. ^[5]

Como muchas otras patologías, la esfera con cuernos en cierto sentido juega con una estructura infinitamente fina, generada de manera recursiva, que en el límite viola la intuición ordinaria. En este caso, la topología de una cadena siempre descendente de bucles entrelazados de piezas continuas de la esfera en el límite refleja plenamente la de la esfera común, y uno esperaría que el exterior de ella, después de una incrustación, funcione de la misma manera. Sin embargo, no es así: no se conecta simplemente .

Para conocer la teoría subyacente, consulte el teorema de Jordan-Schönflies .

Buen comportamiento

Los matemáticos (y los de ciencias afines) hablan con mucha frecuencia de si un objeto matemático —una función , un conjunto , un espacio de un tipo u otro— se "comporta bien" . Si bien el término no tiene una definición formal fija, generalmente se refiere a la calidad de satisfacer una lista de condiciones predominantes, ^[6] que pueden depender del contexto, los intereses matemáticos, la moda y el gusto. Para asegurarse de que un objeto "se comporte bien", los matemáticos introducen más axiomas para delimitar el dominio de estudio. Esto tiene la ventaja de facilitar el análisis, pero produce una pérdida de generalidad de las conclusiones alcanzadas. Por ejemplo,Las geometrías no euclidianas alguna vez se consideraron de mal comportamiento, pero desde entonces se han convertido en objetos comunes de estudio desde el siglo XIX en adelante. ^[7]

Tanto en matemáticas puras como aplicadas (por ejemplo, optimización , integración numérica , física matemática ), comportarse bien también significa no violar ninguna suposición necesaria para aplicar con éxito cualquier análisis que se esté discutiendo. ^[6]

El caso opuesto se suele etiquetar como "patológico". No es inusual tener situaciones en las que la mayoría de los casos (en términos de cardinalidad o medida ) son patológicos, pero los casos patológicos no surgirán en la práctica, a menos que se construyan deliberadamente.

El término "buen comportamiento" se aplica generalmente en un sentido absoluto: o algo se comporta bien o no. Por ejemplo:

• En la inferencia algorítmica , una estadística de buen comportamiento es monótona, bien definida y suficiente .
• En el teorema de Bézout , dos polinomios se comportan bien y, por lo tanto, la fórmula dada por el teorema para el número de sus intersecciones es válida, si su polinomio máximo común divisor es una constante.
• Una función meromórfica es una relación de dos funciones que se comportan bien, en el sentido de que esas dos funciones son holomórficas .
• Las condiciones de Karush-Kuhn-Tucker son condiciones necesarias de primer orden para que una solución en un problema de programación no lineal con buen comportamiento sea ​​óptima; se hace referencia a un problema como de buen comportamiento si se cumplen algunas condiciones de regularidad.
• En probabilidad , los eventos contenidos en la sigma-álgebra correspondiente del espacio de probabilidad se comportan bien, al igual que las funciones medibles .

Inusualmente, el término también podría aplicarse en un sentido comparativo:

• En cálculo :
  • Las funciones analíticas se comportan mejor que las funciones suaves generales .
  • Las funciones suaves se comportan mejor que las funciones diferenciables generales.
  • Las funciones diferenciables continuas se comportan mejor que las funciones continuas generales. Cuanto mayor sea el número de veces que se puede diferenciar la función, mejor se comportará.
  • Las funciones continuas se comportan mejor que las funciones integrables de Riemann en conjuntos compactos.
  • Las funciones integrables de Riemann se comportan mejor que las funciones integrables de Lebesgue .
  • Las funciones integrables de Lebesgue se comportan mejor que las funciones generales.
• En topología , las funciones continuas se comportan mejor que las discontinuas.
  • El espacio euclidiano se comporta mejor que la geometría no euclidiana .
  • Los puntos fijos atractivos se comportan mejor que los puntos fijos repulsivos.
  • Las topologías de Hausdorff se comportan mejor que las de la topología general arbitraria .
  • Los conjuntos de Borel se comportan mejor que los conjuntos arbitrarios de números reales .
  • Los espacios con dimensión entera se comportan mejor que los espacios con dimensión fractal .
• En álgebra abstracta :
  • Los grupos se comportan mejor que los magmas y los semigrupos .
  • Los grupos abelianos se comportan mejor que los grupos no abelianos.
  • Los grupos abelianos generados de forma finita se comportan mejor que los grupos abelianos generados de forma no finita.
  • Finito - dimensionales espacios vectoriales se comportan mejor de lo infinito los dimensionales.
  • Los campos se comportan mejor que los campos sesgados o los anillos generales .
  • Las extensiones de campo separables se comportan mejor que las no separables.
  • Las álgebras de división normalizadas se comportan mejor que las álgebras de composición general.

Ejemplos patológicos

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Los ejemplos patológicos a menudo tienen algunas propiedades indeseables o inusuales que hacen que sea difícil de contener o explicar dentro de una teoría. Estos comportamientos patológicos a menudo dan lugar a nuevas investigaciones e investigaciones, que conducen a una nueva teoría y a resultados más generales. Algunos ejemplos históricos importantes de esto son:

• El descubrimiento de números irracionales por la escuela de Pitágoras en la antigua Grecia; por ejemplo, la longitud de la diagonal de un cuadrado unitario , es decir .${\displaystyle {\sqrt {2}}}$
• El descubrimiento de números complejos en el siglo XVI para encontrar las raíces de funciones polinomiales cúbicas y cuárticas .
• La cardinalidad de los números racionales es igual a la cardinalidad de los enteros .
• Algunos campos numéricos tienen anillos de números enteros que no forman un dominio de factorización único , por ejemplo, el campo .${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {-5}})}$
• El descubrimiento de fractales y otros objetos geométricos "toscos" (ver dimensión de Hausdorff ).
• Función de Weierstrass , una verdadera función -valued en la recta real , que es continua por todas partes pero diferenciable en ninguna parte. ^[2]
• Funciones de prueba en el análisis real y la teoría de la distribución, que son funciones infinitamente diferenciables en la línea real que son 0 en todas partes fuera de un intervalo limitado dado . Un ejemplo de tal función es la función de prueba,

${\displaystyle \varphi (t)={\begin{cases}e^{-1/(1-t^{2})},&-1<t<1,\\0,&{\text{otherwise}}.\end{cases}}}$

• El conjunto de Cantor es un subconjunto del intervalo que tiene medida cero pero es incontable .${\displaystyle [0,1]}$
• El Peano curva rellenadora de huecos es un continuo sobreyectiva función que mapea el intervalo de la unidad sobre .${\displaystyle [0,1]}$${\displaystyle [0,1]\times [0,1]}$
• La función de Dirichlet , que es la función indicadora de los racionales, es una función acotada que no es integrable de Riemann .
• La función de Cantor es una monótona función sobreyectiva continua que se asigna a , pero tiene derivada cero en casi todas partes .${\displaystyle [0,1]}$${\displaystyle [0,1]}$
• Se pueden construir clases de satisfacción que contengan afirmaciones aritméticas "intuitivamente falsas" para modelos contables y saturados de forma recursiva de la aritmética de Peano . ^{[ cita requerida ]}

En el momento de su descubrimiento, cada uno de estos se consideró altamente patológico; hoy, cada uno ha sido asimilado en la teoría matemática moderna. Estos ejemplos incitan a sus observadores a corregir sus creencias o intuiciones y, en algunos casos, requieren una reevaluación de las definiciones y conceptos fundamentales. A lo largo de la historia, han llevado a matemáticas más correctas, más precisas y más poderosas. Por ejemplo, la función de Dirichlet es integrable de Lebesgue, y la convolución con funciones de prueba se usa para aproximar cualquier función integrable localmente mediante funciones suaves. ^{[Nota 1]}

El que un comportamiento sea patológico está sujeto, por definición, a la intuición personal. Las patologías dependen del contexto, la formación y la experiencia, y lo que es patológico para un investigador puede muy bien ser un comportamiento estándar para otro.

Los ejemplos patológicos pueden mostrar la importancia de los supuestos en un teorema. Por ejemplo, en estadística , la distribución de Cauchy no satisface el teorema del límite central , aunque su forma de campana simétrica parece similar a muchas distribuciones que sí lo hacen; no cumple con el requisito de tener una desviación estándar y media que exista y que sea finita.

Algunas de las paradojas más conocidas , como la paradoja de Banach-Tarski y la paradoja de Hausdorff , se basan en la existencia de conjuntos no medibles . Los matemáticos, a menos que adopten la posición minoritaria de negar el axioma de la elección , en general se resignan a vivir con tales conjuntos. ^{[ cita requerida ]}

Ciencias de la computación

En informática , patológico tiene un sentido ligeramente diferente con respecto al estudio de algoritmos . Aquí, se dice que una entrada (o un conjunto de entradas) es patológica si causa un comportamiento atípico del algoritmo, como una violación de su complejidad promedio de caso , o incluso su corrección. Por ejemplo, las tablas hash generalmente tienen entradas patológicas: conjuntos de claves que chocan con los valores hash. La ordenación rápida normalmente tiene una complejidad de tiempo O (n log n), pero se deteriora hasta el momento en que recibe una entrada que desencadena un comportamiento subóptimo.${\displaystyle O(n^{2})}$

El término se usa a menudo de manera peyorativa, como una forma de descartar tales entradas como especialmente diseñadas para romper una rutina que de otra manera sería sólida en la práctica (compárese con el bizantino ). Por otro lado, el conocimiento de las entradas patológicas es importante, ya que pueden explotarse para montar un ataque de denegación de servicio en un sistema informático. Además, el término en este sentido es una cuestión de juicio subjetivo al igual que con sus otros sentidos. Con un tiempo de ejecución suficiente, una comunidad de usuarios suficientemente grande y diversa (u otros factores), podría ocurrir una entrada que puede descartarse como patológica (como se vio en el primer vuelo de prueba del Ariane 5 ).

Excepciones

Artículo principal: objeto excepcional

Un fenómeno similar pero distinto es el de los objetos excepcionales (e isomorfismos excepcionales ), que ocurre cuando hay un número "pequeño" de excepciones a un patrón general (como un conjunto finito de excepciones a una regla por lo demás infinita). Por el contrario, en los casos de patología, a menudo la mayoría o casi todos los casos de un fenómeno son patológicos (p. Ej., Casi todos los números reales son irracionales).

Subjetivamente, los objetos excepcionales (como el icosaedro o los grupos simples esporádicos ) generalmente se consideran "hermosos", ejemplos inesperados de una teoría, mientras que los fenómenos patológicos a menudo se consideran "feos", como su nombre lo indica. En consecuencia, las teorías generalmente se amplían para incluir objetos excepcionales. Por ejemplo, las álgebras de Lie excepcionales se incluyen en la teoría de las álgebras de Lie semisimple : los axiomas se consideran buenos, los objetos excepcionales como inesperados pero válidos.

Por el contrario, los ejemplos patológicos se toman en cambio para señalar una deficiencia en los axiomas, lo que requiere axiomas más fuertes para descartarlos. Por ejemplo, se requiere la mansedumbre de la incrustación de una esfera en el problema de las moscas de Schön . En general, se puede estudiar la teoría más general, incluidas las patologías, que puede aportar sus propias simplificaciones (los números reales tienen propiedades muy diferentes a los racionales, y los mapas continuos también tienen propiedades muy diferentes de los suaves), pero también los teoría, de la que se extrajeron los ejemplos originales.

Ver también

• Curva fractal
• Lista de jerga matemática

Referencias

1. "El glosario definitivo de jerga matemática superior - patológico" . Bóveda de matemáticas . 2019-08-01 . Consultado el 29 de noviembre de 2019 .
2. Weisstein, Eric W. "Patológico" . mathworld.wolfram.com . Consultado el 29 de noviembre de 2019 .
3. "patológico" . planetmath.org . Consultado el 29 de noviembre de 2019 .
4. "Categoría de Baire y funciones diferenciables en ninguna parte (primera parte)" . www.math3ma.com . Consultado el 29 de noviembre de 2019 .
5. Weisstein, Eric W. "Esfera con cuernos de Alexander" . mathworld.wolfram.com . Consultado el 29 de noviembre de 2019 .
6. "El glosario definitivo de jerga matemática superior - Bien portado" . Bóveda de matemáticas . 2019-08-01 . Consultado el 29 de noviembre de 2019 .
7. "Geometría no euclidiana | matemáticas" . Enciclopedia Británica . Consultado el 29 de noviembre de 2019 .

Notas

1. Las aproximaciones convergen en casi todas partes y en el espacio de funciones integrables localmente .

Enlaces externos

• Estructuras patológicas y fractales - Extracto de un artículo de Freeman Dyson , "Caracterizando la irregularidad", Science, mayo de 1978

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