En matemáticas , las propiedades que son válidas para ejemplos "típicos" se denominan propiedades genéricas . Por ejemplo, una propiedad genérica de una clase de funciones es una que es verdadera para "casi todas" esas funciones, como en las declaraciones, "Un polinomio genérico no tiene una raíz en cero" o "Una matriz cuadrada genérica es invertible ". Como otro ejemplo, una propiedad genérica de un espacio es una propiedad que se mantiene en "casi todos" los puntos del espacio, como en la declaración, "Si f : M → N es una función suave entre variedades suaves , entonces un punto genérico de N no es un valor crítico de f. "(Esto es por el teorema de Sard .)
Hay muchas nociones diferentes de "genérico" (lo que se entiende por "casi todos") en matemáticas, con las nociones duales correspondientes de "casi ninguno" ( conjunto insignificante ); las dos clases principales son:
- En la teoría de la medida , una propiedad genérica es aquella que se mantiene en casi todas partes , siendo el concepto dual un conjunto nulo , que significa "con probabilidad 0".
- En topología y geometría algebraica , una propiedad genérica es aquella que se mantiene en un conjunto abierto denso , o más generalmente en un conjunto residual , siendo el concepto dual un conjunto denso en ninguna parte , o más generalmente un conjunto escaso .
Hay varios ejemplos naturales en los que esas nociones no son iguales. [1] Por ejemplo, el conjunto de números de Liouville es genérico en el sentido topológico, pero Lebesgue mide cero. [2]
En teoría de la medida
En la teoría de la medida , una propiedad genérica es aquella que se mantiene en casi todas partes . El concepto dual es un conjunto nulo , es decir, un conjunto de medida cero.
En probabilidad
En probabilidad, una propiedad genérica es un evento que ocurre casi con seguridad , lo que significa que ocurre con probabilidad 1. Por ejemplo, la ley de los números grandes establece que la media muestral converge casi con seguridad a la media poblacional. Esta es la definición en el caso de la teoría de la medida especializada en un espacio de probabilidad.
En matemáticas discretas
En matemáticas discretas , se usa el término casi todos para significar cofinito (todos menos un número finito), contable (todos pero contablemente muchos), para números suficientemente grandes o, a veces, asintóticamente casi con seguridad . El concepto es particularmente importante en el estudio de gráficos aleatorios .
En topología
En topología y geometría algebraica , una propiedad genérica es aquella que se mantiene en un conjunto abierto denso , o más generalmente en un conjunto residual (una intersección contable de conjuntos abiertos densos), siendo el concepto dual un conjunto denso cerrado en ninguna parte , o más generalmente un conjunto escaso (una unión contable de conjuntos cerrados densos en ninguna parte).
Sin embargo, la densidad por sí sola no es suficiente para caracterizar una propiedad genérica. Esto se puede ver incluso en los números reales , donde tanto los números racionales como su complemento, los números irracionales, son densos. Dado que no tiene sentido decir que tanto un conjunto como su complemento exhiben un comportamiento típico, tanto los racionales como los irracionales no pueden ser ejemplos de conjuntos lo suficientemente grandes como para ser típicos. En consecuencia, nos basamos en la definición más estricta anterior que implica que los irracionales son típicos y los racionales no lo son.
Para las aplicaciones, si una propiedad se mantiene en un conjunto residual , puede que no sea válida para todos los puntos, pero perturbarla levemente generalmente hará que uno quede dentro del conjunto residual (por ninguna densidad de los componentes del conjunto escaso), y estos son, por lo tanto, los caso más importante para abordar en teoremas y algoritmos.
En espacios funcionales
Una propiedad es genérica en C r si el conjunto que contiene esta propiedad contiene un subconjunto residual en la topología de C r . Aquí C r es el espacio funcional cuyos miembros son funciones continuas con derivadas continuas R desde un colector M a un colector N .
El espacio C r ( M , N ), de las asignaciones de C r entre M y N , es un espacio de Baire , por lo que cualquier conjunto residual es denso . Esta propiedad del espacio funcional es lo que hace que las propiedades genéricas sean típicas .
En geometría algebraica
Variedades algebraicas
Se dice que una propiedad de una variedad algebraica irreductible X es verdadera genéricamente si se cumple excepto en un subconjunto cerrado de Zariski adecuado de X , en otras palabras, si se cumple en un subconjunto abierto de Zariski no vacío. Esta definición concuerda con la topológica anterior, porque para las variedades algebraicas irreductibles cualquier conjunto abierto no vacío es denso.
Por ejemplo, según el criterio jacobiano de regularidad, un punto genérico de una variedad sobre un campo de característica cero es uniforme. (Esta afirmación se conoce como suavidad genérica ). Esto es cierto porque el criterio jacobiano se puede usar para encontrar ecuaciones para los puntos que no son suaves: son exactamente los puntos donde la matriz jacobiana de un punto de X no tiene rango completo . En la característica cero, estas ecuaciones no son triviales, por lo que no pueden ser verdaderas para todos los puntos de la variedad. En consecuencia, el conjunto de todos los puntos no habituales de X es un subconjunto apropiado Zariski-cerrado de X .
He aquí otro ejemplo. Sea f : X → Y un mapa regular entre dos variedades algebraicas. Para cada punto y de Y , considere la dimensión de la fibra de f sobre y , es decir, dim f −1 ( y ). Genéricamente, este número es constante. No es necesariamente constante en todas partes. Si, digamos, X es la explosión de Y en un punto yf es la proyección natural, entonces la dimensión relativa de f es cero excepto en el punto que se infla, donde es Y - 1 tenue .
Se dice que algunas propiedades son muy genéricas . Con frecuencia, esto significa que el campo de tierra es incontable y que la propiedad es verdadera excepto en una unión contable de subconjuntos cerrados adecuados de Zariski (es decir, la propiedad se mantiene en un conjunto G δ denso ). Por ejemplo, esta noción de muy genérico ocurre cuando se considera la conexión racional . Sin embargo, otras definiciones de muy genérico pueden ocurrir y ocurren en otros contextos.
Punto genérico
En geometría algebraica , un punto genérico de una variedad algebraica es un punto cuyas coordenadas no satisfacen ninguna otra relación algebraica que las satisfechas por cada punto de la variedad. Por ejemplo, un punto genérico de un espacio afín sobre un campo k es un punto cuyas coordenadas son algebraicamente independientes sobre k .
En la teoría de esquemas , donde los puntos son las subvariedades, un punto genérico de una variedad es un punto cuyo cierre para la topología de Zariski es la variedad completa.
Una propiedad genérica es una propiedad del punto genérico. Para cualquier propiedad razonable, resulta que la propiedad es verdadera genéricamente en la subvariedad (en el sentido de ser verdadera en un subconjunto denso abierto) si y solo si la propiedad es verdadera en el punto genérico. Estos resultados se prueban con frecuencia utilizando los métodos de límites de esquemas afines desarrollados en EGA IV 8.
Posición general
Un concepto relacionado en geometría algebraica es posición general , cuyo significado preciso depende del contexto. Por ejemplo, en el plano euclidiano, tres puntos en posición general no son colineales . Esto es porque la propiedad de no ser colineales es una propiedad genérica del espacio de configuración de tres puntos en R 2 .
En computabilidad
En computabilidad y aleatoriedad algorítmica , una cadena infinita de números naturales se llama 1-genérico si, para cada ce conjunto , ya sea tiene un segmento inicial en , o tiene un segmento inicial tal que cada extensión no está en W. Los genéricos 1 son importantes en la computabilidad, ya que muchas construcciones pueden simplificarse considerando un genérico 1 apropiado. [3] Algunas propiedades clave son:
- Un genérico 1 contiene todos los números naturales como un elemento;
- Ningún 1-genérico es computable (o incluso está limitado por una función computable);
- Todos los 1-genéricos son generalizados bajos :.
1-genérico está conectado con la noción topológica de "genérico", como sigue. Espacio Baire tiene una topología con conjuntos abiertos básicos por cada cadena finita de números naturales . Entonces, un elemento1-es genérico si y sólo si es no en el límite de cualquier conjunto abierto. En particular, se requieren 1-genéricos para cumplir con cada conjunto abierto denso (aunque esta es una propiedad estrictamente más débil, llamada débilmente 1-genérico ).
Resultados de la generosidad
- Teorema de Sard : Sies una función suave entre múltiples lisos , entonces un punto genérico de N no es un valor crítico de f - valores críticos de f son un conjunto nulo en N .
- Criterio jacobiano / suavidad genérica : Un punto genérico de una variedad sobre un campo de característica cero es suave.
- La controlabilidad y la observabilidad de los sistemas lineales invariantes en el tiempo son genéricas tanto en el sentido topológico como en la teoría de la medida. [4]
Referencias
- ^ Hunt, Brian R .; Kaloshin, Vadim Yu. (2010). Prevalencia . Manual de sistemas dinámicos. 3 . págs. 43–87. doi : 10.1016 / s1874-575x (10) 00310-3 . ISBN 9780444531414.
- ^ Oxtoby, John C. (1980). Medida y Categoría | SpringerLink . Textos de Posgrado en Matemáticas. 2 . doi : 10.1007 / 978-1-4684-9339-9 . ISBN 978-1-4684-9341-2.
- ^ Soare, Robert I. (2016), "Turing Reducibility" , Turing Computability , Berlín, Heidelberg: Springer Berlin Heidelberg, págs. 51–78, ISBN 978-3-642-31932-7, consultado el 1 de noviembre de 2020
- ^ Polderman, Jan Willem; Willems, Jan C. (1998). Introducción a la teoría de sistemas matemáticos | SpringerLink . Textos en Matemática Aplicada. 26 . doi : 10.1007 / 978-1-4757-2953-5 . ISBN 978-1-4757-2955-9.
- Wiggins, Stephen (2003), Introducción al caos y sistemas dinámicos no lineales aplicados , Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-00177-7
- Griffiths, Phillip ; Harris, Joseph (1994), Principios de geometría algebraica , Wiley Classics Library, Nueva York: John Wiley & Sons , doi : 10.1002 / 9781118032527 , ISBN 978-0-471-05059-9, MR 1288523