En álgebra, una descomposición Peirce / p ɜr s / es una descomposición de un álgebra como una suma de espacios propios de los desplazamientos elementos idempotente . La descomposición de Peirce para álgebras asociativas fue introducida por Benjamin Peirce ( 1870 , proposición 41, página 13). Albert (1947) introdujo una descomposición de Peirce similar pero más complicada para las álgebras de Jordan .
Descomposición de Peirce para álgebras asociativas
Si e es un idempotente ( e 2 = e ) en un álgebra asociativa A , entonces la descomposición de Peirce de dos caras escribe A como la suma directa de eAe , eA (1− e ), (1− e ) Ae y (1 - e ) A (1− e ). También hay descomposiciones de Peirce izquierda y derecha, donde la descomposición de la izquierda escribe A como la suma directa de eA y (1− e ) A , y la derecha escribe A como la suma directa de Ae y A (1− e ).
De manera más general, si e 1 , ..., e n son idempotentes mutuamente ortogonales con suma 1, entonces A es la suma directa de los espacios e i Ae j para 1≤ i , j ≤ n .
Bloques
Un idempotente de un anillo se llama central si conmuta con todos los elementos del anillo.
Dos idempotentes e , f se llaman ortogonales si ef = fe = 0.
Un idempotente se llama primitivo si es distinto de cero y no puede escribirse como la suma de dos idempotentes ortogonales distintos de cero.
Una e idempotente se llama bloque o centralmente primitiva si es distinta de cero y central y no puede escribirse como la suma de dos idempotentes centrales ortogonales distintos de cero. En este caso, la eR ideal a veces también se denomina bloque.
Si la identidad 1 de un anillo R se puede escribir como la suma
- 1 = e 1 + ... + e n
de no nulos ortogonal idempotentes primitivos en el centro, entonces estos idempotentes son hasta única de orden y son llamados los bloques o el anillo R . En este caso, el anillo R se puede escribir como una suma directa
- R = e 1 R + ... + e n R
de anillos indescomponibles, que son a veces también llamado los bloques de R .
Referencias
- Albert, A. Adrian (1947), "Una teoría de la estructura de álgebra de Jordan", Annals of Mathematics , Segunda Serie, 48 : 546-567, doi : 10.2307 / 1969128 , ISSN 0003-486X , JSTOR 1.969.128 , MR 0021546
- Lam, TY (2001), Un primer curso en anillos no conmutativos , Textos de posgrado en matemáticas, 131 (2a ed.), Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-95183-6, Señor 1838439
- Peirce, Benjamin (1870), Álgebra asociativa lineal , ISBN 978-0-548-94787-6
- Skornyakov, LA (2001) [1994], "Descomposición de Peirce" , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press