En la teoría de anillos (parte del álgebra abstracta ) un elemento idempotente , o simplemente un idempotente , de un anillo es un elemento a tal que a 2 = a . [1] Es decir, el elemento es idempotente bajo la multiplicación del anillo. Entonces, inductivamente, también se puede concluir que a = a 2 = a 3 = a 4 = ... = a n para cualquier número entero positivo n. Por ejemplo, un elemento idempotente de un anillo de matriz es precisamente una matriz idempotente .
Para los anillos generales, los elementos idempotentes bajo multiplicación están involucrados en la descomposición de los módulos y están conectados a las propiedades homológicas del anillo. En álgebra de Boole , los principales objetos de estudio son anillos en los que todos los elementos son idempotentes tanto en la suma como en la multiplicación.
Ejemplos de
Cocientes de Z
Se puede considerar el anillo de números enteros mod n , donde n es libre de cuadrados . Según el teorema del resto chino , este anillo se factoriza en el producto directo de anillos de números enteros mod p . Ahora bien, cada uno de estos factores es un campo, por lo que está claro que los únicos idempotentes del factor serán 0 y 1. Es decir, cada factor tiene dos idempotentes. Entonces, si hay m factores, habrá 2 m idempotentes.
Podemos comprobar esto para los enteros mod 6, R = Z / 6 Z . Dado que 6 tiene dos factores (2 y 3), debería tener 2 2 idempotentes.
- 0 2 ≡ 0 ≡ 0 (mod 6)
- 1 2 ≡ 1 ≡ 1 (mod 6)
- 2 2 ≡ 4 ≡ 4 (mod 6)
- 3 2 ≡ 9 ≡ 3 (mod 6)
- 4 2 ≡ 16 ≡ 4 (mod 6)
- 5 2 ≡ 25 ≡ 1 (mod 6)
De estos cálculos, 0, 1, 3 y 4 son idempotentes de este anillo, mientras que 2 y 5 no lo son. Esto también demuestra las propiedades de descomposición describen a continuación: porque 3 + 4 = 1 (mod 6) , hay una descomposición anillo 3 Z / 6 Z ⊕ 4 Z / 6 Z . En 3 Z / 6 Z la identidad es 3 + 6 Z y en 4 Z / 6 Z la identidad es 4 + 6 Z .
Cociente de anillo polinomial
Dado un anillo y un elemento tal que , luego el anillo del cociente
tiene el idempotente . Por ejemplo, esto podría aplicarse a, o cualquier polinomio .
Idempotentes en anillos de cuaterniones divididos
Hay un catenoide de idempotentes en el anillo del cuaternión dividido .
Tipos de idempotentes del anillo
Una lista parcial de tipos importantes de idempotentes incluye:
- Dos idempotentes a y b se denominan ortogonal si ab = ba = 0 . Si a es idempotente en el anillo R (con unidad), entonces también lo es b = 1 - a ; Por otra parte, un y b son ortogonales.
- Un idempotente una en R se llama un idempotente central de si ax = xa para todos x en R .
- Un idempotente trivial se refiere a cualquiera de los elementos 0 y 1, que siempre son idempotentes.
- Un idempotente primitivo de un anillo R es un idempotente distinto de cero a tal que aR es indecomponible como un módulo R derecho ; es decir, tal que aR no es una suma directa de dos submódulos distintos de cero. De manera equivalente, una es un idempotente primitivo si no se puede escribir como a = e + f , donde e y f son cero idempotentes ortogonales en R .
- A idempotente locales es un idempotente un tal que aRa es un anillo local . Esto implica que aR es directamente indescomponible, por lo que los idempotentes locales también son primitivos.
- Un idempotente irreductible de derecha es un idempotente a para el que aR es un módulo simple. Según el lema de Schur , End R ( aR ) = aRa es un anillo de división y, por lo tanto, es un anillo local, por lo que los idempotentes irreductibles de derecha (e izquierda) son locales.
- Un idempotente centralmente primitivo es un idempotente central a que no puede escribirse como la suma de dos idempotentes centrales ortogonales distintos de cero.
- Un idempotente un + I en el anillo cociente R / I se dice que ascensor modulo I si hay un idempotente b en R tal que b + I = un + I .
- Un idempotente de un de R se llama un idempotente completo si RaR = R .
- Un idempotente de separabilidad ; ver álgebra separable .
Cualquier idempotente no trivial a es un divisor de cero (porque ab = 0 sin que a ni b sean cero, donde b = 1 - a ). Esto muestra que los dominios integrales y los anillos de división no tienen tales idempotentes. Los anillos locales tampoco tienen tales idempotentes, pero por una razón diferente. El único idempotente contenido en el radical de Jacobson de un anillo es 0.
Anillos caracterizados por idempotentes
- Un anillo en el que todos los elementos son idempotentes se llama anillo booleano . Algunos autores utilizan el término "anillo idempotente" para este tipo de anillo. En tal anillo, la multiplicación es conmutativa y cada elemento es su propio inverso aditivo .
- Un anillo es semisimple si y solo si todo ideal de derecha (o de izquierda) es generado por un idempotente.
- Un anillo es regular de von Neumann si y solo si cada ideal de derecha finitamente generado (o cada izquierda finitamente generado) es generado por un idempotente.
- Un anillo para el cual el aniquilador r .Ann ( S ) cada subconjunto S de R es generado por un idempotente se llama anillo de Baer . Si la condición solo se cumple para todos los subconjuntos singleton de R , entonces el anillo es un anillo de Rickart derecho . Ambos tipos de anillos son interesantes incluso cuando carecen de una identidad multiplicativa.
- Un anillo en el que todos los idempotentes son centrales se llama anillo abeliano . Estos anillos no necesitan ser conmutativos.
- Un anillo es directamente irreductible si y solo si 0 y 1 son los únicos idempotentes centrales.
- Un anillo R se puede escribir como e 1 R ⊕ e 2 R ⊕ ... ⊕ e n R con cada e i un idempotente local si y solo si R es un anillo semiperfecto .
- Un anillo se llama anillo SBI o anillo Lift / rad si todos los idempotentes de R levantan módulo el radical de Jacobson .
- Un anillo satisface la condición de cadena ascendente en los sumandos directos de la derecha si y solo si el anillo satisface la condición de la cadena descendente en los sumandos directos de la izquierda si y solo si cada conjunto de idempotentes ortogonales por pares es finito.
- Si a es idempotente en el anillo R , entonces aRa es de nuevo un anillo, con identidad multiplicativa a . El anillo aRa se refiere a menudo como un anillo de esquina de R . El anillo de la esquina surge naturalmente ya que el anillo de endomorfismos End R ( aR ) ≅ aRa .
Papel en las descomposiciones
Los idempotents de R tienen una importante conexión a la descomposición de R módulos . Si M es un módulo R y E = Fin R ( M ) es su anillo de endomorfismos , entonces A ⊕ B = M si y solo si hay un idempotente único e en E tal que A = e ( M ) y B = ( 1 - e ) ( M ) . Es evidente, entonces, M está directamente indescomponible si y sólo si 0 y 1 son los únicos idempotents en E . [2]
En el caso en que M = R, el endomorfismo final del anillo R ( R ) = R , donde cada endomorfismo surge como una multiplicación a la izquierda por un elemento de anillo fijo. Con esta modificación de la notación, A ⊕ B = R como módulos adecuados si y sólo si existe un idempotente único e tal que eR = A y (1 - e ) R = B . Así, cada sumando directo de R es generado por un idempotente.
Si a es un idempotente central, entonces el anillo de la esquina aRa = Ra es un anillo con identidad multiplicativa a . Así como los idempotentes determinan las descomposiciones directas de R como un módulo, los idempotentes centrales de R determinan las descomposiciones de R como una suma directa de anillos. Si R es la suma directa de los anillos R 1 , ..., R n , entonces los elementos de identidad de los anillos R i son idempotentes centrales en R , ortogonales por pares, y su suma es 1. A la inversa, dados los idempotentes centrales a 1 , ..., a n en R que son ortogonales por pares y tienen suma 1, entonces R es la suma directa de los anillos Ra 1 ,…, Ra n . Entonces, en particular, cada idempotente central a en R da lugar a una descomposición de R como una suma directa de los anillos de las esquinas aRa y (1 - a ) R (1 - a ) . Como resultado, un anillo R es directamente indecomponible como un anillo si y solo si la identidad 1 es centralmente primitiva.
Trabajando inductivamente, uno puede intentar descomponer 1 en una suma de elementos primitivos centralmente. Si 1 es centralmente primitivo, hemos terminado. Si no, es una suma de idempotentes ortogonales centrales, que a su vez son primitivos o sumas de idempotentes más centrales, y así sucesivamente. El problema que puede ocurrir es que esto puede continuar sin fin, produciendo una familia infinita de idempotentes ortogonales centrales. La condición " R no contiene conjuntos infinitos de idempotentes ortogonales centrales " es un tipo de condición de finitud en el anillo. Se puede lograr de muchas maneras, como exigir que el anillo sea correcto Noetheriano . Si existe una descomposición R = c 1 R ⊕ c 2 R ⊕ ... ⊕ c n R con cada c i un idempotente primitivo centralmente primitivo, entonces R es una suma directa de los anillos de las esquinas c i Rc i , cada uno de los cuales es anillo irreducible. [3]
Para álgebras asociativas o álgebras de Jordan sobre un campo, la descomposición de Peirce es una descomposición de un álgebra como una suma de espacios propios de elementos idempotentes conmutados.
Relación con involuciones
Si una es un idempotente del anillo endomorphism End R ( M ), entonces el endomorphism f = 1 - 2 un es un R módulo involución de M . Es decir, f es un R homomorfismo tal que f 2 es la endomorphism identidad de M .
Un elemento idempotente a de R y su involución asociada f da lugar a dos involuciones del módulo R , dependiendo de ver a R como un módulo izquierdo o derecho. Si r representa un elemento arbitrario de R , f puede verse como un R- homomorfismo derecho r ↦ fr de modo que ffr = r , o f también puede verse como un homomorfismo del módulo R izquierdo r ↦ rf , donde rff = r .
Este proceso se puede invertir si 2 es un elemento invertible de R : [4] si b es una involución, a continuación, 2 -1 (1 - b) y 2 -1 (1 + b) son idempotentes ortogonales, correspondiente a una y 1 - a . Así, para un anillo en el que 2 es invertible, los elementos idempotentes corresponden a involuciones de una manera uno a uno.
Categoría de módulos R
Levantando idempotents también tiene importantes consecuencias para la categoría de R módulos . Todos idempotents levantar modulo I si y sólo si cada R sumando directo de R / I tiene una cubierta proyectiva como un R módulo. [5] Los idempotentes siempre levantan ideales modulo nulo y anillos para los cuales R / I es I-adicamente completo .
La elevación es más importante cuando I = J ( R ) , el radical Jacobson de R . Otra caracterización más de los anillos semiperfectos es que son anillos semilocales cuyos idempotentes elevan módulo J ( R ). [6]
Celosía de idempotentes
Uno puede definir un orden parcial en los idempotentes de un anillo como sigue: si un y b son idempotentes, escribimos un ≤ b si y sólo si ab = ba = una . Con respecto a este orden, 0 es el idempotente más pequeño y 1 el más grande. Para idempotentes ortogonales una y b , un + b es también idempotente, y tenemos un ≤ un + b y b ≤ un + b . Los átomos de este orden parcial son precisamente los idempotentes primitivos. ( Lam 2001 , pág.323)
Cuando el orden parcial anterior se restringe a los idempotentes centrales de R , se puede dar una estructura reticular, o incluso una estructura de álgebra booleana. Para dos idempotents centro e y f del complemento ¬ e = 1 - e y de la combinación y se reúnen están dadas por
- e ∨ f = e + f - ef
y
- e ∧ f = ef .
El orden ahora se vuelve simplemente e ≤ f si y solo si eR ⊆ fR , y la unión y el encuentro satisfacen ( e ∨ f ) R = eR + fR y ( e ∧ f ) R = eR ∩ fR = ( eR ) ( fR ) . Se muestra en ( Goodearl 1991 , p. 99) que si R es regular de von Neumann y autoinyectivo derecho , entonces el enrejado es un enrejado completo .
Notas
- ^ Ver Hazewinkel et al. (2004), pág. 2.
- ^ Anderson y Fuller 1992 , p.69-72.
- ^ Lam 2001 , p. 326.
- ^ Los anillos en los que 2 no es invertible no son difíciles de encontrar. El elemento 2 no es invertible en ningún álgebra booleana, ni en ningún anillo de característica 2.
- ^ Anderson y Fuller 1992 , p.302.
- ^ Lam 2001 , p. 336.
Referencias
- " Idempotente " en FOLDOC
- Goodearl, KR (1991), anillos regulares de von Neumann (2 ed.), Malabar, FL: Robert E. Krieger Publishing Co. Inc., págs. Xviii + 412, ISBN 0-89464-632-X, MR 1150975
- Hazewinkel, Michiel; Gubareni, Nadiya; Kirichenko, VV (2004), Álgebras, anillos y módulos. Vol. 1 , Matemáticas y sus aplicaciones, 575 , Dordrecht: Kluwer Academic Publishers, págs. Xii + 380, ISBN 1-4020-2690-0, MR 2106764
- Lam, TY (2001), A first course in non conmutative rings , Graduate Texts in Mathematics, 131 (2 ed.), Nueva York: Springer-Verlag, pp. Xx + 385, doi : 10.1007 / 978-1-4419-8616 -0 , ISBN 0-387-95183-0, Señor 1838439
- Lang, Serge (1993), Álgebra (Tercera ed.), Reading, Mass .: Addison-Wesley, ISBN 978-0-201-55540-0, Zbl 0848.13001pag. 443
- Peirce, Benjamin .. Álgebra asociativa lineal 1870.
- Polcino Milies, César; Sehgal, Sudarshan K. (2002), Introducción a los anillos de grupo , Álgebras y aplicaciones, 1 , Dordrecht: Kluwer Academic Publishers, págs. Xii + 371, doi : 10.1007 / 978-94-010-0405-3 , ISBN 1-4020-0238-6, Señor 1896125