Baldosas Penrose

Mosaico no periódico del avión

Un mosaico de Penrose con rombos que exhiben una simetría quíntuple

Un mosaico de Penrose es un ejemplo de un mosaico aperiódico . Aquí, un mosaico es una cubierta del plano por polígonos que no se superponen u otras formas, y aperiódico significa que el desplazamiento de cualquier mosaico con estas formas en cualquier distancia finita, sin rotación, no puede producir el mismo mosaico. Sin embargo, a pesar de su falta de simetría de traslación , los mosaicos de Penrose pueden tener simetría de reflexión y simetría rotacional quíntuple . Los mosaicos de Penrose llevan el nombre del matemático y físico Roger Penrose , quien los investigó en la década de 1970.

Hay varias variaciones diferentes de los mosaicos Penrose con diferentes formas de mosaicos. La forma original de las baldosas de Penrose usaba baldosas de cuatro formas diferentes, pero esto se redujo más tarde a solo dos formas: dos rombos diferentes o dos cuadriláteros diferentes llamados cometas y dardos. Los mosaicos de Penrose se obtienen restringiendo las formas en que se permite que estas formas encajen entre sí. Esto se puede hacer de varias formas diferentes, incluidas reglas de coincidencia, reglas de sustitución en mosaico o subdivisión finita , esquemas de corte y proyecto y revestimientos. Incluso restringido de esta manera, cada variación produce un número infinito de teselaciones de Penrose diferentes.

Roger Penrose en el vestíbulo del Mitchell Institute for Fundamental Physics and Astronomy, Texas A&M University , de pie en un piso con un mosaico Penrose

Los mosaicos Penrose son auto-similares : se pueden convertir en mosaicos Penrose equivalentes con diferentes tamaños de mosaicos, utilizando procesos llamados inflado y desinflado . El patrón representado por cada parche finito de mosaicos en un mosaico de Penrose ocurre infinitas veces a lo largo del mosaico. Son cuasicristales : implementado como una estructura física, un mosaico de Penrose producirá patrones de difracción con picos de Bragg y simetría quíntuple, revelando los patrones repetidos y las orientaciones fijas de sus mosaicos. ^[1] El estudio de estos mosaicos ha sido importante para comprender los materiales físicos que también forman cuasicristales. ^[2] Los revestimientos de Penrose también se han aplicado en arquitectura y decoración, como en el revestimiento de suelo que se muestra.

Antecedentes e historia

Azulejos periódicos y aperiódicos

Figura 1. Parte de un mosaico periódico con dos prototipos

Cubrir una superficie plana ("el plano") con algún patrón de formas geométricas ("mosaicos"), sin superposiciones ni espacios, se llama mosaico . Los mosaicos más familiares, como cubrir un piso con cuadrados que se encuentran de borde a borde, son ejemplos de mosaicos periódicos . Si un mosaico cuadrado se desplaza por el ancho de un mosaico, paralelo a los lados del mosaico, el resultado es el mismo patrón de mosaicos que antes del turno. Un cambio (formalmente, una traducción ) que conserva el mosaico de esta manera se denomina período del mosaico. Un mosaico se llama periódico cuando tiene períodos que desplazan el mosaico en dos direcciones diferentes. ^[3]

Los mosaicos en el mosaico cuadrado tienen solo una forma, y ​​es común que otros mosaicos tengan solo un número finito de formas. Estas formas se denominan prototipos , y se dice que un conjunto de prototipos admite un mosaico o un mosaico del avión si hay un mosaico del avión que usa solo estas formas. Es decir, cada mosaico del mosaico debe ser congruente con uno de estos prototipos. ^[4]

Un mosaico que no tiene puntos no es periódico . Se dice que un conjunto de prototipos es aperiódico si todos sus mosaicos son no periódicos, y en este caso sus mosaicos también se denominan mosaicos aperiódicos . ^{[5] Los} mosaicos de Penrose se encuentran entre los ejemplos más simples conocidos de mosaicos aperiódicos del plano mediante conjuntos finitos de prototipos. ^[3]

Los primeros revestimientos aperiódicos

Un juego aperiódico de dominó Wang . ^[6]

El tema de los mosaicos aperiódicos recibió un nuevo interés en la década de 1960 cuando el lógico Hao Wang notó conexiones entre los problemas de decisión y los mosaicos. ^[7] En particular, introdujo embaldosados por placas cuadradas con bordes coloreados, ahora conocido como fichas de dominó Wang o azulejos , y planteó la " Domino Problema ": para determinar si un determinado conjunto de fichas de dominó Wang podría azulejo el plano con los colores correspondientes en adyacentes bordes dominó. Observó que si este problema fuera indecidible , entonces tendría que existir un juego aperiódico de dominó Wang. En ese momento, esto parecía inverosímil, por lo que Wang conjeturó que tal conjunto no podría existir.

Los seis prototipos de Robinson

El alumno de Wang, Robert Berger, demostró que el problema del dominó era indecidible (por lo que la conjetura de Wang era incorrecta) en su tesis de 1964, ^[8] y obtuvo un conjunto aperiódico de 20.426 fichas de dominó de Wang. ^[9] También describió una reducción a 104 prototipos de este tipo; este último no apareció en su monografía publicada, ^[10] pero en 1968, Donald Knuth detalló una modificación del conjunto de Berger que requería sólo 92 fichas de dominó. ^[11]

La combinación de colores requerida en un mosaico por los dominós de Wang se puede lograr fácilmente modificando los bordes de los mosaicos como piezas de un rompecabezas para que puedan encajar solo según lo prescrito por los colores de los bordes. ^[12] Raphael Robinson , en un artículo de 1971 ^[13] que simplificó las técnicas de Berger y la prueba de indecidibilidad, utilizó esta técnica para obtener un conjunto aperiódico de sólo seis prototiles. ^[14]

Desarrollo de los revestimientos de Penrose

El primer mosaico de Penrose (mosaico P1 a continuación) es un conjunto aperiódico de seis prototipos, introducido por Roger Penrose en un artículo de 1974, ^[16] basado en pentágonos en lugar de cuadrados. Cualquier intento de embaldosar el plano con pentágonos regulares necesariamente deja huecos, pero Johannes Kepler demostró, en su obra Harmonices Mundi de 1619 , que estos huecos se pueden llenar usando pentagramas ( polígonos de estrellas ), decágonos y formas relacionadas. ^[17] Kepler extendió este mosaico en cinco polígonos y no encontró patrones periódicos, y ya conjeturaba que cada extensión introduciría una nueva característica ^[18]creando así un embaldosado aperiódico. También se pueden encontrar huellas de estas ideas en la obra de Alberto Durero . ^[19] Reconociendo la inspiración de Kepler, Penrose encontró reglas coincidentes para estas formas, obteniendo un conjunto aperiódico. Estas reglas de coincidencia se pueden imponer mediante la decoración de los bordes, como con las baldosas de Wang. El mosaico de Penrose puede verse como una terminación del patrón Aa finito de Kepler . ^[20]

Un mosaico que no es de Penrose con pentágonos y rombos delgados en la iglesia de peregrinación de San Juan de Nepomuceno de principios del siglo XVIII en Zelená hora, República Checa

Posteriormente, Penrose redujo el número de prototipos a dos, descubriendo el mosaico de cometas y dardos (mosaico P2 abajo) y el mosaico de rombo (mosaico P3 abajo). ^[21] El mosaico de rombo fue descubierto independientemente por Robert Ammann en 1976. ^[22] Penrose y John H. Conway investigaron las propiedades de los mosaicos de Penrose y descubrieron que una propiedad de sustitución explicaba su naturaleza jerárquica; sus hallazgos fueron publicados por Martin Gardner en su columna " Juegos matemáticos " de enero de 1977 en Scientific American . ^[23]

En 1981, NG De Bruijn proporcionó dos métodos diferentes para construir mosaicos Penrose. El "método de redes múltiples" de De Bruijn obtiene los mosaicos de Penrose como los gráficos duales de arreglos de cinco familias de líneas paralelas. En su "método de corte y proyección", los mosaicos de Penrose se obtienen como proyecciones bidimensionales a partir de una estructura cúbica de cinco dimensiones. En estos enfoques, el mosaico de Penrose se ve como un conjunto de puntos, sus vértices, mientras que los mosaicos son formas geométricas obtenidas conectando vértices con bordes. ^[24]

Azulejos de Penrose

Un mosaico P1 utilizando el conjunto original de seis prototipos de Penrose

Los tres tipos de mosaicos Penrose, P1 – P3, se describen individualmente a continuación. ^[25] Tienen muchas características en común: en cada caso, los mosaicos se construyen a partir de formas relacionadas con el pentágono (y por lo tanto con la proporción áurea ), pero las formas básicas de los mosaicos deben complementarse con reglas de coincidencia para colocarlos de forma aperiódica. Estas reglas pueden describirse usando vértices o bordes etiquetados, o patrones en las caras de los mosaicos; alternativamente, el perfil del borde se puede modificar (por ejemplo, mediante muescas y protuberancias) para obtener un conjunto aperiódico de prototipos. ^{[9] [26]}

Baldosas pentagonal Penrose original (P1)

El primer mosaico de Penrose usa pentágonos y otras tres formas: una "estrella" de cinco puntas (un pentagrama), un "bote" (aproximadamente 3/5 de una estrella) y un "diamante" (un rombo delgado). ^[27] Para garantizar que todos los mosaicos no sean periódicos, existen reglas de coincidencia que especifican cómo se pueden encontrar los mosaicos, y hay tres tipos diferentes de reglas de coincidencia para los mosaicos pentagonales. El tratamiento de estos tres tipos como prototipos diferentes da un conjunto de seis prototipos en total. Es común indicar los tres tipos diferentes de baldosas pentagonales usando tres colores diferentes, como en la figura de arriba a la derecha. ^[28]

Baldosas de cometas y dardos (P2)

Parte del plano cubierta por baldosas Penrose de tipo P2 (cometa y dardo). Creado aplicando varias deflaciones, consulte la sección siguiente.

El segundo mosaico de Penrose usa cuadriláteros llamados "cometa" y "dardo", que pueden combinarse para formar un rombo. Sin embargo, las reglas de emparejamiento prohíben tal combinación. ^[29] Tanto la cometa como el dardo están compuestos por dos triángulos, llamados triángulos de Robinson , según las notas de 1975 de Robinson. ^[30]

Azulejos de cometa y dardos (arriba) y las siete posibles figuras de vértice en un mosaico P2.

• La cometa es un cuadrilátero cuyos cuatro ángulos interiores son 72, 72, 72 y 144 grados. La cometa puede dividirse en dos a lo largo de su eje de simetría para formar un par de triángulos de Robinson agudos (con ángulos de 36, 72 y 72 grados).
• El dardo es un cuadrilátero no convexo cuyos cuatro ángulos interiores son 36, 72, 36 y 216 grados. El dardo puede dividirse en dos a lo largo de su eje de simetría para formar un par de triángulos obtusos de Robinson (con ángulos de 36, 36 y 108 grados), que son más pequeños que los triángulos agudos.

Las reglas de coincidencia se pueden describir de varias formas. Un enfoque es colorear los vértices (con dos colores, por ejemplo, blanco y negro) y requerir que los mosaicos adyacentes tengan vértices coincidentes. ^[31] Otra es usar un patrón de arcos circulares (como se muestra arriba a la izquierda en verde y rojo) para restringir la ubicación de los mosaicos: cuando dos mosaicos comparten un borde en un mosaico, los patrones deben coincidir en estos bordes. ^[21]

Estas reglas a menudo obligan a colocar ciertas fichas: por ejemplo, el vértice cóncavo de cualquier dardo está necesariamente ocupado por dos cometas. La figura correspondiente (centro de la fila superior en la imagen inferior a la izquierda) es llamada "as" por Conway; aunque parece una cometa agrandada, no se teja de la misma manera. ^[32] De manera similar, el vértice cóncavo que se forma cuando dos cometas se encuentran a lo largo de un borde corto se llena necesariamente con dos dardos (abajo a la derecha). De hecho, solo hay siete formas posibles para que las fichas se encuentren en un vértice; dos de estas figuras, a saber, la "estrella" (arriba a la izquierda) y el "sol" (arriba a la derecha), tienen una simetría diédrica de 5 veces (por rotaciones y reflejos), mientras que el resto tiene un solo eje de reflexión (vertical en la imagen).^[33]Aparte del as y el sol, todas estas figuras de vértices fuerzan la colocación de fichas adicionales. ^[34]

Azulejos rombo (P3)

Regla de emparejamiento para rombos de Penrose usando arcos circulares o modificaciones de borde para hacer cumplir las reglas de mosaico

Regla de coincidencia para rombos de Penrose que utilizan bordes parabólicos para hacer cumplir las reglas de mosaico

Un mosaico de Penrose con rombos de Penrose con bordes parabólicos

El tercer mosaico utiliza un par de rombos (a menudo denominados " rombos " en este contexto) con lados iguales pero ángulos diferentes. ^[9] Las baldosas en forma de rombo ordinarias se pueden utilizar para revestir el plano periódicamente, por lo que se deben establecer restricciones sobre cómo se pueden ensamblar las baldosas: dos baldosas no pueden formar un paralelogramo, ya que esto permitiría un mosaico periódico, pero esta restricción no es suficiente para forzar la aperiodicidad, como muestra la figura 1 anterior .

Hay dos tipos de mosaicos, los cuales se pueden descomponer en triángulos de Robinson. ^[30]

• El rombo delgado t tiene cuatro esquinas con ángulos de 36, 144, 36 y 144 grados. El rombo en t puede dividirse en dos a lo largo de su diagonal corta para formar un par de triángulos de Robinson agudos.
• El rombo grueso T tiene ángulos de 72, 108, 72 y 108 grados. El rombo T puede dividirse en dos a lo largo de su diagonal larga para formar un par de triángulos obtusos de Robinson; a diferencia del mosaico P2, estos son más grandes que los triángulos agudos.

Las reglas de coincidencia distinguen los lados de los mosaicos e implican que los mosaicos pueden yuxtaponerse de ciertas formas particulares pero no de otras. En la imagen de la derecha se muestran dos formas de describir estas reglas de coincidencia. En una forma, las baldosas deben ensamblarse de manera que las curvas de las caras coincidan en color y se coloquen en un borde. En el otro, las baldosas deben ensamblarse de manera que las protuberancias de sus bordes encajen. ^[9]

Hay 54 combinaciones cíclicamente ordenadas de dichos ángulos que suman 360 grados en un vértice, pero las reglas del mosaico permiten que aparezcan solo siete de estas combinaciones (aunque una de ellas surge de dos formas). ^[35]

Las diversas combinaciones de ángulos y curvaturas faciales permiten la construcción de baldosas arbitrariamente complejas, como los pollos Penrose . ^[36]

Características y construcciones

Proporción áurea y simetría pentagonal local.

Varias propiedades y características comunes de los mosaicos de Penrose involucran la proporción áurea φ = (1+ √ 5 ) / 2 (aproximadamente 1.618). ^{[30] [31]} Esta es la razón entre las longitudes de las cuerdas y las longitudes de los lados en un pentágono regular y satisface φ = 1 + 1 / φ .

Pentágono con un rombo grueso inscrito (claro), triángulos Robinson agudos (ligeramente sombreados) y un pequeño triángulo Robinson obtuso (más oscuro). Las líneas punteadas dan bordes adicionales para cometas y dardos inscritos.

En consecuencia, la razón entre las longitudes de los lados largos y los lados cortos en los triángulos de Robinson ( isósceles ) es φ : 1. De ello se deduce que la relación entre las longitudes de los lados largos y los cortos tanto en las fichas de cometa como de dardos es también φ : 1, al igual que las relaciones de longitud de los lados con la diagonal corta en el rombo delgado t , y de la diagonal larga con los lados en el rombo grueso. T . Tanto en las teselaciones P2 como en P3, la relación entre el área del triángulo de Robinson más grande y el más pequeño es φ: 1, por lo tanto también lo son las relaciones de las áreas de la cometa al dardo, y del rombo grueso al rombo delgado. (Tanto los triángulos obtusos de Robinson más grandes como los más pequeños se pueden encontrar en el pentágono de la izquierda: los triángulos más grandes en la parte superior, las mitades del rombo grueso, tienen dimensiones lineales ampliadas en φ en comparación con el triángulo sombreado pequeño en la base, y por lo que la proporción de áreas es φ ² : 1.)

Cualquier mosaico de Penrose tiene simetría pentagonal local, en el sentido de que hay puntos en el mosaico rodeados por una configuración simétrica de mosaicos: tales configuraciones tienen una simetría rotacional quíntuple alrededor del punto central, así como cinco líneas de espejo de simetría de reflexión que pasan a través del punto. , un grupo de simetría diedro . ^[9] Esta simetría generalmente preservará solo un parche de mosaicos alrededor del punto central, pero el parche puede ser muy grande: Conway y Penrose demostraron que siempre que las curvas de color en los mosaicos P2 o P3 se cierran en un bucle, la región dentro del El bucle tiene simetría pentagonal y, además, en cualquier mosaico, hay como máximo dos curvas de cada color que no se cierran.^[37]

Puede haber como máximo un punto central de simetría quíntuple global: si hubiera más de uno, entonces rotar uno sobre el otro produciría dos centros más cercanos de simetría quíntuple, lo que conduce a una contradicción matemática. ^[38] Sólo hay dos mosaicos Penrose (de cada tipo) con simetría pentagonal global: para el mosaico P2 con cometas y dardos, el punto central es un vértice "sol" o "estrella". ^[39]

Inflación y deflación

Un pentágono descompuesto en seis pentágonos más pequeños (la mitad de una red dodecaédrica) con espacios

Muchas de las características comunes de los mosaicos de Penrose se derivan de una estructura pentagonal jerárquica dada por reglas de sustitución : esto a menudo se conoce como inflación y deflación , o composición y descomposición , de mosaicos o (colecciones de) mosaicos. ^{[9] [23] [40]} Las reglas de sustitución descomponen cada mosaico en mosaicos más pequeños de la misma forma que los usados ​​en el mosaico (y por lo tanto permiten que los mosaicos más grandes se "compongan" a partir de los más pequeños). Esto muestra que el mosaico de Penrose tiene una auto-similitud de escala, por lo que se puede considerar como un fractal , utilizando el mismo proceso que el pentaflake . ^[41]

Penrose descubrió originalmente el mosaico P1 de esta manera, descomponiendo un pentágono en seis pentágonos más pequeños (la mitad de una red de un dodecaedro ) y cinco medios diamantes; luego observó que cuando repitió este proceso, los espacios entre los pentágonos podrían llenarse con estrellas, diamantes, barcos y otros pentágonos. ^[27] Al iterar este proceso indefinidamente, obtuvo una de las dos teselaciones P1 con simetría pentagonal. ^{[9] [20]}

Descomposiciones del triángulo de Robinson

Triángulos de Robinson y sus descomposiciones

El método de sustitución para los mosaicos P2 y P3 se puede describir utilizando triángulos de Robinson de diferentes tamaños. Los triángulos de Robinson que surgen en los mosaicos P2 (bisecando cometas y dardos) se denominan mosaicos A, mientras que los que surgen en los mosaicos P3 (bisecando rombos) se denominan mosaicos B. ^[30] La loseta A más pequeña, denominada A _S , es un triángulo de Robinson obtuso , mientras que la loseta A más grande, A _L , es aguda ; en contraste, un mosaico B más pequeño, denominado B _S , es un triángulo de Robinson agudo, mientras que el mosaico B más grande, B _L , es obtuso.

Concretamente, si A _S tiene longitudes de lados (1, 1, φ ), entonces A _L tiene longitudes de lados ( φ , φ , 1). Los mosaicos B se pueden relacionar con dichos mosaicos A de dos maneras:

• Si B _S tiene el mismo tamaño que A _L, entonces B _L es una versión ampliada φ A _S de A _S , con longitudes de lado ( φ , φ , φ ²  = 1 +  φ ); esto se descompone en un mosaico A _L y A _S teja unida a lo largo de un lado común de longitud 1.
• Si, en cambio, B _L se identifica con A _S , entonces B _S es una versión reducida (1 / φ ) A _L de A _L con longitudes laterales (1 / φ , 1 / φ , 1) - uniendo una loseta B _S y una B _La loseta _{L a lo} largo de un lado común de longitud 1 produce (una descomposición de) una loseta A _L.

En estas descomposiciones, parece haber una ambigüedad: los triángulos de Robinson pueden descomponerse de dos maneras, que son imágenes especulares entre sí en el eje de simetría (isósceles) del triángulo. En un mosaico de Penrose, esta elección se fija mediante las reglas de coincidencia. Además, las reglas de emparejamiento también determinan cómo se componen los triángulos más pequeños en el mosaico para dar los más grandes. ^[30]

Inflado parcial de la estrella para producir rombos y de una colección de rombos para producir un as.

De ello se deduce que los mosaicos P2 y P3 son mutuamente derivables localmente : un mosaico de un conjunto de mosaicos se puede utilizar para generar un mosaico de otro. Por ejemplo, un mosaico con cometas y dardos se puede subdividir en mosaicos A, y estos se pueden componer de manera canónica para formar mosaicos B y, por lo tanto, rombos. ^[15] Los mosaicos P2 y P3 también son mutuamente derivables localmente con el mosaico P1 (ver figura 2 arriba ). ^[42]

La descomposición de baldosas B en baldosas A puede escribirse

B _S = UNA _L , B _L = UNA _L + UNA _S

(asumiendo la convención de tamaño más grande para los mosaicos B), que se puede resumir en una ecuación de matriz de sustitución : ^[43]

${\displaystyle {\begin{pmatrix}B_{L}\\B_{S}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&1\\1&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}A_{L}\\A_{S}\end{pmatrix}}\,.}$

Combinando esto con la descomposición de las baldosas A φ agrandadas en baldosas B, se obtiene la sustitución

${\displaystyle {\begin{pmatrix}\varphi A_{L}\\\varphi A_{S}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&1\\1&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}B_{L}\\B_{S}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}2&1\\1&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}A_{L}\\A_{S}\end{pmatrix}}\,,}$

de manera que la baldosa ampliada φ A _L se descompone en dos A _L azulejos y uno A _S azulejos. Las reglas de emparejamiento obligan a una sustitución particular: las dos fichas A _L en una ficha φ A _L deben formar una cometa y, por lo tanto, una cometa se descompone en dos cometas y dos medios dardos, y un dardo se descompone en una cometa y dos medios dardos. dardos. ^{[44] [45]} Las fichas φ B ampliadas se descomponen en fichas B de forma similar (a través de las fichas φ A).

La composición y la descomposición se pueden iterar, de modo que, por ejemplo

${\displaystyle \varphi ^{n}{\begin{pmatrix}A_{L}\\A_{S}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}2&1\\1&1\end{pmatrix}}^{n}{\begin{pmatrix}A_{L}\\A_{S}\end{pmatrix}}\,.}$

El número de cometas y dardos en la n- ésima iteración de la construcción está determinado por la n- ésima potencia de la matriz de sustitución:

${\displaystyle {\begin{pmatrix}2&1\\1&1\end{pmatrix}}^{n}={\begin{pmatrix}F_{2n+1}&F_{2n}\\F_{2n}&F_{2n-1}\end{pmatrix}}\,,}$

donde F _n es el n- ésimo número de Fibonacci . Por lo tanto, la proporción entre el número de cometas y dardos en cualquier patrón de mosaico P2 Penrose suficientemente grande se aproxima a la proporción áurea φ . ^[46] Un resultado similar es válido para la relación entre el número de rombos gruesos y rombos delgados en el mosaico P3 Penrose. ^[44]

Desinflado para revestimientos P2 y P3

Deflaciones consecutivas del vértice 'sol' en un mosaico de Penrose de tipo P2

Deflaciones consecutivas de un juego de baldosas en un mosaico Penrose de tipo P3

8a deflación del vértice 'sol' en un mosaico Penrose de tipo P2

Comenzando con una colección de mosaicos de un mosaico dado (que puede ser un mosaico único, un mosaico del plano o cualquier otra colección), la deflación continúa con una secuencia de pasos denominados generaciones. En una generación de desinflado, cada mosaico se reemplaza con dos o más mosaicos nuevos que son versiones reducidas de los mosaicos utilizados en el mosaico original. Las reglas de sustitución garantizan que las nuevas fichas se organizarán de acuerdo con las reglas de emparejamiento. ^[44] Generaciones repetidas de deflación producen un mosaico de la forma del axioma original con mosaicos cada vez más pequeños.

Esta regla para dividir los mosaicos es una regla de subdivisión .

Nombre	Azulejos iniciales	Generacion 1	Generacion 2	Generacion 3
Media cometa
Medio dardo
sol
Estrella

La tabla anterior debe usarse con precaución. La deflación de media cometa y medio dardo son útiles solo en el contexto de deflación de un patrón más grande como se muestra en las deflaciones de sol y estrella. Dan resultados incorrectos si se aplican a cometas y dardos individuales.

Además, la regla de subdivisión simple genera agujeros cerca de los bordes del mosaico que son visibles en las ilustraciones superior e inferior de la derecha. Las reglas de forzamiento adicionales son útiles.

Consecuencias y aplicaciones

La inflación y la deflación dan como resultado un método para construir mosaicos de cometas y dardos (P2), o mosaicos de rombos (P3), conocidos como generación de arriba hacia abajo . ^{[32] [44] [45]}

Las teselaciones de Penrose, al no ser periódicas, no tienen simetría de traslación: el patrón no se puede cambiar para que coincida en todo el plano. Sin embargo, cualquier región delimitada, sin importar cuán grande sea, se repetirá un número infinito de veces dentro del mosaico. Por lo tanto, ningún parche finito puede determinar de forma única un mosaico completo de Penrose, ni siquiera determinar qué posición dentro del mosaico se muestra. ^[47]

Esto muestra en particular que el número de teselaciones de Penrose distintas (de cualquier tipo) es incontablemente infinito . La generación ascendente y descendente produce un método para parametrizar los mosaicos, pero otros métodos utilizan barras de Ammann, pentagrids o esquemas de corte y proyección. ^[44]

Temas y mosaicos relacionados

Recubrimientos decagonales y cuasicristales

El decágono de Gummelt (izquierda) con la descomposición en cometas y dardos indicados por líneas discontinuas; las líneas más gruesas y oscuras unían un as con inscripciones y un grueso rombo; posibles superposiciones (derecha) son por uno o dos ases rojos. ^[48]

En 1996, la matemática alemana Petra Gummelt demostró que una cubierta (llamada así para distinguirla de una baldosa no superpuesta) equivalente a la baldosa Penrose se puede construir utilizando una única baldosa decagonal si se permiten dos tipos de regiones superpuestas. ^[49] La loseta decagonal está decorada con parches de colores, y la regla de cobertura permite solo aquellas superposiciones compatibles con el color. Una adecuada descomposición de la teja decagonal en cometas y dardos transforma dicha cubierta en una teja Penrose (P2). De manera similar, se puede obtener un mosaico P3 inscribiendo un rombo grueso en cada decágono; el espacio restante está lleno de finos rombos.

Estas cubiertas se han considerado un modelo realista para el crecimiento de cuasicristales : los decagones superpuestos son 'células cuasiunitarias' análogas a las células unitarias a partir de las cuales se construyen los cristales, y las reglas de emparejamiento maximizan la densidad de ciertos grupos atómicos. ^{[48] [50]} La naturaleza aperiódica de los revestimientos puede dificultar los estudios teóricos de las propiedades físicas, como la estructura electrónica, debido a la ausencia del teorema de Bloch . Sin embargo, los espectros de los cuasicristales aún se pueden calcular con control de errores. ^[51]

Azulejos relacionados

Azulejos Tie y Navette (en rojo sobre un fondo de Penrose)

Las tres variantes del revestimiento de Penrose son mutuamente derivables localmente. Seleccionar algunos subconjuntos de los vértices de un mosaico P1 permite producir otros mosaicos no periódicos. Si las esquinas de un pentágono en P1 están etiquetadas sucesivamente por 1, 3, 5, 2, 4, se establece un etiquetado inequívoco en todos los pentágonos, el orden es en sentido horario o antihorario. Los puntos con la misma etiqueta definen un mosaico de triángulos de Robinson, mientras que los puntos con los números 3 y 4 definen los vértices de un mosaico Tie-and-Navette. ^[52]

Una variante de alicatado que no es un cuasicristal. No es un mosaico de Penrose porque no cumple con las reglas de alineación de mosaicos.

También hay otros mosaicos no equivalentes relacionados, como los mosaicos hexagonales-barco-estrella y Mikulla-Roth. Por ejemplo, si las reglas de coincidencia para el mosaico de rombos se reducen a una restricción específica en los ángulos permitidos en cada vértice, se obtiene un mosaico binario. ^[53] Su simetría subyacente también es quíntuple, pero no es un cuasicristal. Puede obtenerse decorando los rombos del mosaico original con otros más pequeños o aplicando reglas de sustitución, pero no mediante el método de cortar y proyectar de De Bruijn. ^[54]

Arte y arquitectura

• Patrón de mosaico Girih pentagonal y decagonal en una enjuta del santuario Darb-i Imam , Isfahan , Irán (1453 d.C.)

• Salesforce Transit Center en San Francisco. La "piel" exterior, hecha de aluminio blanco, está perforada en el patrón de un mosaico de Penrose.

El valor estético de los mosaicos se ha apreciado durante mucho tiempo y sigue siendo una fuente de interés en ellos; de ahí que haya atraído la atención la apariencia visual (más que las propiedades definitorias formales) de los mosaicos de Penrose. Se ha observado la similitud con ciertos patrones decorativos utilizados en el norte de África y Oriente Medio; ^{[55] [56]} los físicos Peter J. Lu y Paul Steinhardt han presentado evidencia de que un mosaico de Penrose subyace en ejemplos de patrones geométricos islámicos medievales , como los mosaicos girih (correas) en el santuario Darb-e Imam en Isfahan . ^[57]

El artista de Drop City , Clark Richert, usó rombos de Penrose en obras de arte en 1970, derivados de la proyección de la sombra del triacontaedro rómbico en un plano observando los rombos "gordos" incrustados y los rombos "delgados" que se unen para producir la teselación no periódica. El historiador del arte Martin Kemp ha observado que Alberto Durero esbozó motivos similares de un mosaico de rombo. ^[58]

El nuevo Transbay Transit Center de San Francisco de $ 2.2 mil millones presenta perforaciones en la piel de metal blanco ondulante de su exterior en el patrón de Penrose. ^[59]

El suelo del atrio del edificio Bayliss de la Universidad de Australia Occidental está revestido de baldosas de Penrose. ^[60]

En 1979, la Universidad de Miami usó un mosaico Penrose ejecutado en terrazo para decorar el patio del Bachelor Hall en su Departamento de Matemáticas y Estadística. ^[61]

El edificio Andrew Wiles , la ubicación del Departamento de Matemáticas de la Universidad de Oxford en octubre de 2013, ^[62] incluye una sección de baldosas de Penrose como pavimento de su entrada. ^[63] La parte peatonal de la calle Keskuskatu en el centro de Helsinki está pavimentada con una forma de baldosas de Penrose. La obra se terminó en 2014. ^[64]

Ver también

• Azulejos Girih
• Lista de conjuntos aperiódicos de azulejos
• Azulejos de molinete
• Baldosas pentagonales
• Azulejos Quaquaversal

Notas

1. Senechal , 1996 , págs. 241–244.
2. Radin 1996 .
3. Las referencias generales para este artículo incluyen Gardner 1997 , pp. 1-30, Grünbaum & Shephard 1987 , pp. 520-548 y 558-579, y Senechal 1996 , pp. 170-206.
4. Gardner 1997 , págs.20, 23
5. Grünbaum y Shephard 1987 , p. 520
6. Culik y Kari 1997
7. Wang 1961
8. Robert Berger en el Proyecto de genealogía matemática
9. Austin 2005a
10. Berger, 1966
11. Grünbaum y Shephard 1987 , p. 584
12. Gardner 1997 , p. 5
13. Robinson, 1971
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47. "... cualquier parche finito que elijamos en un mosaico quedará dentro de un solo mosaico inflado si continuamos moviéndonos lo suficientemente hacia arriba en la jerarquía de inflación. Esto significa que en cualquier lugar donde ese mosaico se encuentre en ese nivel en la jerarquía, nuestro parche original también debe aparecer en el mosaico original. Por lo tanto, el parche se producirá con una frecuencia infinita en el mosaico original y, de hecho, también en todos los demás mosaicos ". Austin 2005a
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Referencias

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enlaces externos

Wikimedia Commons tiene medios relacionados con los mosaicos de Penrose .

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• William Chow, Penrose tile in architecture , consultado el 28 de diciembre de 2009
• Visor de mosaicos de Penrose