Azulejos de sustitución

En geometría, la sustitución de mosaicos es un método para construir mosaicos muy ordenados . Lo más importante es que algunas sustituciones de mosaicos generan mosaicos aperiódicos , que son mosaicos cuyos prototipos no admiten ningún mosaico con simetría de traslación . Los más famosos son los revestimientos de Penrose . Los mosaicos de sustitución son casos especiales de reglas de subdivisión finitas , que no requieren que los mosaicos sean geométricamente rígidos.

Introducción

Una sustitución de mosaicos se describe mediante un conjunto de prototipos (formas de mosaicos) , un mapa en expansión y una regla de disección que muestra cómo diseccionar los prototipos expandidos para formar copias de algunos prototipos . Intuitivamente, iteraciones cada vez más altas de sustitución de mosaicos producen un mosaico del plano llamado mosaico de sustitución . Algunas teselaciones de sustitución son periódicas , definidas por tener simetría de traslación${\displaystyle T_{1},T_{2},\dots ,T_{m}}$ ${\displaystyle Q}$${\displaystyle QT_{i}}$${\displaystyle T_{j}}$. Cada mosaico de sustitución (hasta condiciones leves) se puede "imponer mediante reglas de coincidencia", es decir, existe un conjunto de mosaicos marcados que solo pueden formar exactamente los mosaicos de sustitución generados por el sistema. Los revestimientos de estos azulejos marcados son necesariamente aperiódicos . ^{[1] [2]}

Un ejemplo simple que produce un mosaico periódico tiene solo un prototipo, a saber, un cuadrado:

Al iterar esta sustitución de mosaicos, las regiones cada vez más grandes del plano se cubren con una cuadrícula cuadrada. A continuación se muestra un ejemplo más sofisticado con dos prototipos, con los dos pasos de voladura y disección fusionados en un solo paso.

Uno puede tener una idea intuitiva de cómo este procedimiento produce un mosaico de sustitución de todo el plano . A continuación se da una definición matemáticamente rigurosa. Los mosaicos de sustitución son especialmente útiles como formas de definir mosaicos aperiódicos , que son objetos de interés en muchos campos de las matemáticas , incluida la teoría de autómatas , la combinatoria , la geometría discreta , los sistemas dinámicos , la teoría de grupos , el análisis armónico y la teoría de números , así como la cristalografía y la química. . En particular, el célebre mosaico de Penrose es un ejemplo de un mosaico de sustitución aperiódico.

Historia

En 1973 y 1974, Roger Penrose descubrió una familia de revestimientos aperiódicos, ahora llamados revestimientos de Penrose . La primera descripción se dio en términos de "reglas de emparejamiento" que tratan los prototipos como piezas de un rompecabezas . La prueba de que las copias de estos prototipos se pueden juntar para formar un mosaico del avión, pero no puede hacerlo periódicamente, utiliza una construcción que se puede moldear como un mosaico de sustitución de los prototipos. En 1977, Robert Ammann descubrió una serie de conjuntos de prototipos aperiódicos, es decir, prototipos con reglas coincidentes que obligaban a teselaciones no periódicas; en particular, redescubrió el primer ejemplo de Penrose. Este trabajo dio un impacto a los científicos que trabajan en cristalografía., lo que finalmente condujo al descubrimiento de cuasicristales . A su vez, el interés por los cuasicristales condujo al descubrimiento de varias teselaciones aperiódicas bien ordenadas. Muchos de ellos pueden describirse fácilmente como teselas de sustitución.

Definición matemática

Vamos a considerar las regiones en que se portan bien , en el sentido de que una región es un subconjunto compacto no vacío que es el cierre de su interior .${\displaystyle {\mathbb {R} }^{d}}$

Tomamos un conjunto de regiones como prototipos. La colocación de un prototipo es un par donde es una isometría de . La imagen se llama región de la ubicación. Un mosaico T es un conjunto de ubicaciones de prototipos cuyas regiones tienen interiores disjuntos por pares. Decimos que el suelo de baldosas T es un mosaico de W , donde W es la unión de las regiones de las colocaciones en T .${\displaystyle \mathbf {P} =\{T_{1},T_{2},\dots ,T_{m}\}}$${\displaystyle T_{i}}$${\displaystyle (T_{i},\varphi )}$${\displaystyle \varphi }$${\displaystyle {\mathbb {R} }^{d}}$${\displaystyle \varphi (T_{i})}$

La sustitución de baldosas a menudo se define vagamente en la literatura. Una definición precisa es la siguiente. ^[3]

Una sustitución de mosaico con respecto a los prototipos P es un par , donde es un mapa lineal , cuyos valores propios son mayores que uno en módulo, junto con una regla de sustitución que asigna cada uno a un mosaico de . La regla de sustitución induce un mapa desde cualquier mosaico T de una región W a un mosaico de , definido por${\displaystyle (Q,\sigma )}$${\displaystyle Q:{\mathbb {R} }^{d}\to {\mathbb {R} }^{d}}$ ${\displaystyle \sigma }$${\displaystyle T_{i}}$${\displaystyle QT_{i}}$${\displaystyle \sigma }$${\displaystyle \sigma (\mathbf {T} )}$${\displaystyle Q_{\sigma }(\mathbf {W} )}$

${\displaystyle \sigma (\mathbf {T} )=\bigcup _{(T_{i},\varphi )\in \mathbf {T} }\{(T_{j},Q\circ \varphi \circ Q^{-1}\circ \rho ):(T_{j},\rho )\in \sigma (T_{i})\}.}$

Tenga en cuenta que los prototipos se pueden deducir de la sustitución de mosaicos. Por tanto, no es necesario incluirlos en la sustitución de mosaicos . ^[4]${\displaystyle (Q,\sigma )}$

Cada mosaico de , donde cualquier parte finita de él es congruente con un subconjunto de algunos, se denomina mosaico de sustitución (para la sustitución de mosaico ).${\displaystyle {\mathbb {R} }^{d}}$${\displaystyle \sigma ^{k}(T_{i})}$${\displaystyle (Q,\sigma )}$

Ver también

• Azulejos de molinete
• Mosaico fotográfico

Referencias

1. C. Goodman-Strauss, Reglas coincidentes y mosaicos de sustitución , Annals Math., 147 (1998), 181-223.
2. Ju. Fernique y N. Ollinger, Sustituciones combinatorias y teselaciones suaves , Journees Automates Cellulaires 2010, J. Kari ed., TUCS Lecture Notes 13 (2010), 100-110.
3. D. Frettlöh, Dualidad de conjuntos de modelos generados por sustituciones , Revista rumana de matemáticas puras y aplicadas. 50 de 2005
4. A. Vince, Mosaico de dígitos del espacio euclidiano, en: Direcciones en cuasicristales matemáticos, eds: M. Baake, RV Moody, AMS, 2000

Otras lecturas

• Pytheas Fogg, N. (2002). Berthé, Valérie ; Ferenczi, Sébastien; Mauduit, Christian; Siegel, A. (eds.). Sustituciones en dinámica, aritmética y combinatoria . Apuntes de clase en matemáticas. 1794 . Berlín: Springer-Verlag . ISBN 3-540-44141-7. Zbl  1014.11015 .

enlaces externos

• Edmund Harriss de Dirk Frettlöh y la Enciclopedia de sustitución Tilings