Regla de subdivisión finita

Proyección en perspectiva de un teselado dodecaédrico en H ³ . Tenga en cuenta la estructura recursiva: cada pentágono contiene pentágonos más pequeños, que contienen pentágonos más pequeños. Este es un ejemplo de una regla de subdivisión que surge de un universo finito (es decir, una variedad tridimensional cerrada ).

En matemáticas, una regla de subdivisión finita es una forma recursiva de dividir un polígono u otra forma bidimensional en piezas cada vez más pequeñas. Las reglas de subdivisión en cierto sentido son generalizaciones de fractales geométricos regulares . En lugar de repetir exactamente el mismo diseño una y otra vez, tienen ligeras variaciones en cada etapa, lo que permite una estructura más rica manteniendo el estilo elegante de los fractales. ^[1] Las reglas de subdivisión se han utilizado en arquitectura, biología e informática, así como en el estudio de variedades hiperbólicas . Los mosaicos de sustitución son un tipo de regla de subdivisión bien estudiado.

Definición

Una regla de subdivisión toma un mosaico del plano por polígonos y lo convierte en un nuevo mosaico subdividiendo cada polígono en polígonos más pequeños. Es finito si solo hay un número finito de formas en las que cada polígono se puede subdividir. Cada forma de subdividir un mosaico se denomina tipo de mosaico . Cada tipo de mosaico está representado por una etiqueta (generalmente una letra). Cada tipo de mosaico se subdivide en tipos de mosaico más pequeños. Cada borde también se subdivide de acuerdo con un número finito de tipos de bordes . Las reglas de subdivisión finitas solo pueden subdividir mosaicos que están formados por polígonos etiquetados por tipos de mosaicos. Tales mosaicos se denominan complejos de subdivisión.para la regla de subdivisión. Dado cualquier complejo de subdivisión para una regla de subdivisión, podemos subdividirlo una y otra vez para obtener una secuencia de mosaicos.

Por ejemplo, la subdivisión binaria tiene un tipo de mosaico y un tipo de borde:

Dado que el único tipo de mosaico es un cuadrilátero, la subdivisión binaria solo puede subdividir mosaicos formados por cuadriláteros. Esto significa que los únicos complejos de subdivisión son mosaicos por cuadriláteros. El mosaico puede ser regular , pero no tiene por qué ser:

Aquí comenzamos con un complejo formado por cuatro cuadriláteros y lo subdividimos dos veces. Todos los cuadriláteros son fichas de tipo A.

Ejemplos de reglas de subdivisión finitas

La subdivisión baricéntrica es un ejemplo de una regla de subdivisión con un tipo de borde (que se subdivide en dos bordes) y un tipo de mosaico (un triángulo que se subdivide en 6 triángulos más pequeños). Cualquier superficie triangulada es un complejo de subdivisión baricéntrico. ^[1]

El mosaico de Penrose se puede generar mediante una regla de subdivisión en un conjunto de cuatro tipos de mosaicos (las líneas curvas en la tabla a continuación solo ayudan a mostrar cómo encajan los mosaicos):

Nombre	Azulejos iniciales	Generacion 1	Generacion 2	Generacion 3
Media cometa
Medio dardo
sol
Estrella

Ciertos mapas racionales dan lugar a reglas de subdivisión finitas. ^[2] Esto incluye la mayoría de los mapas Lattès . ^[3]

Cada complemento de enlace o nudo alterno primo, no dividido tiene una regla de subdivisión, con algunos mosaicos que no se subdividen, correspondientes al límite del complemento de enlace. ^[4] Las reglas de subdivisión muestran cómo se vería el cielo nocturno para alguien que vive en un nudo complementario ; debido a que el universo se envuelve a sí mismo (es decir, no está simplemente conectado ), un observador vería que el universo visible se repite en un patrón infinito. La regla de subdivisión describe ese patrón.

La regla de subdivisión se ve diferente para diferentes geometrías. Esta es una regla de subdivisión para el nudo de trébol , que no es un nudo hiperbólico :

Y esta es la regla de subdivisión para los anillos de Borromeo , que es hiperbólica:

En cada caso, la regla de subdivisión actuaría sobre algún mosaico de una esfera (es decir, el cielo nocturno), pero es más fácil dibujar una pequeña parte del cielo nocturno, correspondiente a una sola loseta subdividida repetidamente. Esto es lo que sucede con el nudo de trébol:

Y para los anillos de Borromeo:

Reglas de subdivisión en dimensiones superiores

Las reglas de subdivisión se pueden generalizar fácilmente a otras dimensiones. ^[5] Por ejemplo, la subdivisión baricéntrica se utiliza en todas las dimensiones. Además, la subdivisión binaria se puede generalizar a otras dimensiones (donde los hipercubos se dividen por cada plano medio), como en la demostración del teorema de Heine-Borel .

Definición rigurosa

Una regla de subdivisión para los cuatro toros. Las caras de las fichas B que se subdividen solo pueden tocar las fichas C y las caras de las fichas B que no solo tocan las fichas A.

Una regla de subdivisión finita consta de lo siguiente. ^[1]${\displaystyle R}$

1. Un complejo CW de 2 dimensiones finito , llamado complejo de subdivisión , con una estructura de celda fija tal que es la unión de sus 2 celdas cerradas. Suponemos que para cada 2 celdas cerradas de hay una estructura CW en un disco cerrado de 2 tal que tiene al menos dos vértices, los vértices y los bordes de están contenidos en , y el mapa característico que se mapea restringe a un homeomorfismo en cada celda abierta.${\displaystyle S_{R}}$${\displaystyle S_{R}}$${\displaystyle {\tilde {s}}}$${\displaystyle S_{R}}$${\displaystyle s}$${\displaystyle s}$${\displaystyle s}$${\displaystyle \partial s}$${\displaystyle \psi _{s}:s\rightarrow S_{R}}$${\displaystyle {\tilde {s}}}$

2. Un complejo CW bidimensional finito , que es una subdivisión de .${\displaystyle R(S_{R})}$${\displaystyle S_{R}}$

3. Un mapa celular continuo llamado mapa de subdivisión , cuya restricción a cada celda abierta es un homeomorfismo en una celda abierta.${\displaystyle \phi _{R}:R(S_{R})\rightarrow S_{R}}$

Cada complejo CW en la definición anterior (con su mapa característico dado ) se denomina tipo de mosaico .${\displaystyle s}$${\displaystyle \psi _{s}}$

Un complejo para una regla de subdivisión es un complejo CW bidimensional que es la unión de sus 2 celdas cerradas, junto con un mapa celular continuo cuya restricción a cada celda abierta es un homeomorfismo. Podemos subdividirnos en un complejo requiriendo que el mapa inducido se restrinja a un homeomorfismo en cada celda abierta. es de nuevo un -complejo con map . Al repetir este proceso, obtenemos una secuencia de complejos subdivididos con mapas .${\displaystyle R}$${\displaystyle R}$${\displaystyle X}$${\displaystyle f:X\rightarrow S_{R}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle R(X)}$${\displaystyle f:R(X)\rightarrow R(S_{R})}$${\displaystyle R(X)}$${\displaystyle R}$${\displaystyle \phi _{R}\circ f:R(X)\rightarrow S_{R}}$${\displaystyle R}$${\displaystyle R^{n}(X)}$${\displaystyle \phi _{R}^{n}\circ f:R^{n}(X)\rightarrow S_{R}}$

La subdivisión binaria es un ejemplo: ^[6]

El complejo de subdivisión se puede crear pegando los bordes opuestos del cuadrado, convirtiendo el complejo de subdivisión en un toro . El mapa de subdivisión es el mapa de duplicación en el toro, envolviendo el meridiano alrededor de sí mismo dos veces y la longitud alrededor de sí mismo dos veces. Este es un mapa de cobertura cuádruple . El plano, en mosaico por cuadrados, es un complejo de subdivisión para esta regla de subdivisión, con el mapa de estructura proporcionado por el mapa de cobertura estándar. Bajo la subdivisión, cada cuadrado del plano se subdivide en cuadrados de un cuarto del tamaño.${\displaystyle S_{R}}$${\displaystyle \phi }$${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{2}\rightarrow R(S_{R})}$

Propiedades de cuasi-isometría

El gráfico histórico de la regla de subdivisión de los tercios medios .

Las reglas de subdivisión se pueden utilizar para estudiar las propiedades de cuasi-isometría de ciertos espacios. ^[7] Dada una regla de subdivisión y un complejo de subdivisión , podemos construir un gráfico llamado gráfico histórico que registra la acción de la regla de subdivisión. El gráfico consta de los gráficos duales de cada etapa , junto con los bordes que conectan cada mosaico con sus subdivisiones en .${\displaystyle R}$${\displaystyle X}$${\displaystyle R^{n}(X)}$${\displaystyle R^{n}(X)}$${\displaystyle R^{n+1}(X)}$

Las propiedades de cuasi-isometría del gráfico histórico se pueden estudiar utilizando reglas de subdivisión. Por ejemplo, el gráfico de historia es cuasi-isométrico al espacio hiperbólico exactamente cuando la regla de subdivisión es conforme , como se describe en el teorema de mapeo combinatorio de Riemann . ^[7]

Aplicaciones

Aplicaciones de las reglas de subdivisión.

Primeros tres pasos de la subdivisión Catmull-Clark de un cubo con superficie de subdivisión debajo.

La naturaleza ramificada de los bronquios puede modelarse mediante reglas de subdivisión finitas.

Los mosaicos islámicos Girih en la arquitectura islámica son mosaicos auto-similares que pueden modelarse con reglas de subdivisión finitas. ^[8] En 2007, Peter J. Lu de la Universidad de Harvard y el profesor Paul J. Steinhardt de la Universidad de Princeton publicaron un artículo en la revista Science sugiriendo que los mosaicos girih poseían propiedades consistentes con mosaicos fractales cuasicristalinos auto-similares como los mosaicos de Penrose (presentación 1974 , obras predecesoras que comenzaron aproximadamente en 1964) antes de ellas en cinco siglos. ^[8]

Las superficies de subdivisión en gráficos por computadora utilizan reglas de subdivisión para refinar una superficie a cualquier nivel de precisión. Estas superficies de subdivisión (como la superficie de subdivisión de Catmull-Clark ) toman una malla poligonal (del tipo que se usa en las películas animadas en 3D) y la refinan a una malla con más polígonos agregando y cambiando puntos según diferentes fórmulas recursivas. ^[9] Aunque muchos puntos se desplazan en este proceso, cada malla nueva es combinatoriamente una subdivisión de la malla anterior (lo que significa que para cada borde y vértice de la malla anterior, puede identificar un borde y vértice correspondiente en la nueva, más varias aristas y vértices más).

Cannon, Floyd y Parry (2000) aplicaron las reglas de subdivisión al estudio de patrones de crecimiento a gran escala de organismos biológicos. ^[6] Cannon, Floyd y Parry produjeron un modelo de crecimiento matemático que demostró que algunos sistemas determinados por reglas simples de subdivisión finita pueden dar como resultado objetos (en su ejemplo, un tronco de árbol) cuya forma a gran escala oscila salvajemente con el tiempo a pesar de que el las leyes de subdivisión siguen siendo las mismas. ^[6] Cannon, Floyd y Parry también aplicaron su modelo al análisis de los patrones de crecimiento del tejido de las ratas. ^[6]Sugirieron que la naturaleza "curvada negativamente" (o no euclidiana) de los patrones de crecimiento microscópicos de los organismos biológicos es una de las razones clave por las que los organismos a gran escala no parecen cristales o formas poliédricas, sino que, de hecho, en muchos casos se asemejan a sí mismos. fractales similares . ^[6] En particular, sugirieron que tal estructura local "curvada negativamente" se manifiesta en la naturaleza altamente plegada y altamente conectada del cerebro y el tejido pulmonar. ^[6]

Conjetura de Cannon

Cannon , Floyd y Parry estudiaron por primera vez las reglas de subdivisión finitas en un intento de probar la siguiente conjetura:

Conjetura de Cannon : Cada grupo hiperbólico de Gromov con una esfera 2 en el infinito actúa geométricamente en el espacio 3 hiperbólico . ^[7]

Aquí, una acción geométrica es una acción cocompacta, propiamente discontinua por isometrías. Esta conjetura fue parcialmente resuelta por Grigori Perelman en su demostración ^{[10] [11] [12]} de la conjetura de geometrización , que establece (en parte) que cualquier grupo hiperbólico de Gromov que sea un grupo de 3 variedades debe actuar geométricamente sobre 3 espacio. Sin embargo, aún queda por demostrar que un grupo hiperbólico de Gromov con una esfera de 2 en el infinito es un grupo de 3 variedades.

Cannon y Swenson demostraron ^[13] que un grupo hiperbólico con 2 esferas en el infinito tiene una regla de subdivisión asociada. Si esta regla de subdivisión es conforme en cierto sentido, el grupo será un grupo de 3 variedades con la geometría del espacio 3 hiperbólico. ^[7]

Teorema de mapeo combinatorio de Riemann

Las reglas de subdivisión dan una secuencia de mosaicos de una superficie, y los mosaicos dan una idea de la distancia, la longitud y el área (al permitir que cada mosaico tenga una longitud y un área 1). En el límite, las distancias que provienen de estos mosaicos pueden converger en algún sentido a una estructura analítica en la superficie. El teorema de mapeo combinatorio de Riemann proporciona las condiciones necesarias y suficientes para que esto ocurra. ^[7]

Su declaración necesita algunos antecedentes. Un mosaico de un anillo (es decir, un anillo cerrado) da dos invariantes y , llamados módulos aproximados . Son similares al módulo clásico de un anillo . Se definen mediante el uso de funciones de peso . Una función de ponderación asigna un número no negativo llamado ponderación a cada mosaico de . A cada ruta de acceso se le puede asignar una longitud, definida como la suma de los pesos de todos los mosaicos de la ruta. Defina la altura de debajo como el mínimo de la longitud de todos los caminos posibles que conectan el límite interno de con el límite externo. La${\displaystyle T}$${\displaystyle R}$${\displaystyle M_{\sup }(R,T)}$${\displaystyle m_{\inf }(R,T)}$${\displaystyle \rho }$${\displaystyle T}$${\displaystyle R}$ ${\displaystyle H(\rho )}$${\displaystyle R}$${\displaystyle \rho }$${\displaystyle R}$la circunferencia de debajo es el mínimo de la longitud de todos los caminos posibles que rodean el anillo (es decir, no nulomotópico en R). El área de debajo se define como la suma de los cuadrados de todos los pesos en . Entonces define${\displaystyle C(\rho )}$${\displaystyle R}$${\displaystyle \rho }$${\displaystyle A(\rho )}$${\displaystyle R}$${\displaystyle \rho }$${\displaystyle R}$

${\displaystyle M_{\sup }(R,T)=\sup {\frac {H(\rho )^{2}}{A(\rho )}},}$

${\displaystyle m_{\inf }(R,T)=\inf {\frac {A(\rho )}{C(\rho )^{2}}}.}$

Tenga en cuenta que son invariantes bajo la escala de la métrica.

Una secuencia de teselaciones es conforme ( ) si la malla se acerca a 0 y:${\displaystyle T_{1},T_{2},\ldots }$${\displaystyle K}$

1. Para cada anillo , los módulos aproximados y , para todos lo suficientemente grandes, se encuentran en un solo intervalo de la forma ; y${\displaystyle R}$${\displaystyle M_{\sup }(R,T_{i})}$${\displaystyle m_{\inf }(R,T_{i})}$${\displaystyle i}$${\displaystyle [r,Kr]}$
2. Dado un punto en la superficie, una vecindad de , y un número entero , hay un anillo en la separación x del complemento de , tal que para todas las grandes los módulos aproximadas de son todas mayores que . ^[7]${\displaystyle x}$${\displaystyle N}$${\displaystyle x}$${\displaystyle I}$${\displaystyle R}$${\displaystyle N\smallsetminus \{x\}}$${\displaystyle N}$${\displaystyle i}$${\displaystyle R}$${\displaystyle I}$

Declaración del teorema

Si una secuencia de teselaciones de una superficie es conforme ( ) en el sentido anterior, entonces hay una estructura conforme en la superficie y una constante que depende solo de en qué módulos clásicos y módulos aproximados (de para suficientemente grande) de cualquier anillo dado son comparables, lo que significa que se encuentran en un solo intervalo . ^[7]${\displaystyle T_{1},T_{2},\ldots }$${\displaystyle K}$${\displaystyle K'}$${\displaystyle K}$${\displaystyle T_{i}}$${\displaystyle i}$${\displaystyle K'}$${\displaystyle [r,K'r]}$

Consecuencias

El teorema de mapeo combinatorio de Riemann implica que un grupo actúa geométricamente si y solo si es hiperbólico de Gromov, tiene una esfera en el infinito, y la regla de subdivisión natural en la esfera da lugar a una secuencia de teselaciones que es conforme en el sentido anterior. . Por lo tanto, la conjetura de Cannon sería cierta si todas esas reglas de subdivisión fueran conformes. ^[13]${\displaystyle G}$${\displaystyle \mathbb {H} ^{3}}$

Referencias

1. J. W. Cannon, WJ Floyd, WR Parry. Reglas de subdivisión finitas . Geometría y dinámica conformales, vol. 5 (2001), págs. 153–196.
2. JW Cannon, WJ Floyd, WR Parry. Construcción de reglas de subdivisión a partir de mapas racionales . Geometría y dinámica conformales, vol. 11 (2007), págs. 128-136.
3. JW Cannon, WJ Floyd, WR Parry. Mapas de Lattès y reglas de subdivisión . Geometría y dinámica conformales, vol. 14 (2010, págs. 113–140.
4. B. Rushton. Construcción de reglas de subdivisión a partir de enlaces alternos . Ajustarse. Geom. Dyn. 14 (2010), 1–13.
5. Rushton, B. (2012). "Una regla de subdivisión finita para el toro n-dimensional". Geometriae Dedicata . 167 : 23–34. arXiv : 1110.3310 . doi : 10.1007 / s10711-012-9802-5 .
6. J. W. Cannon, W. Floyd y W. Parry. Crecimiento cristalino, crecimiento celular biológico y geometría . Formación de patrones en biología, visión y dinámica, págs. 65–82. World Scientific, 2000. ISBN 981-02-3792-8 , ISBN 978-981-02-3792-9 .  
7. James W. Cannon. El teorema de mapeo combinatorio de Riemann . Acta Mathematica 173 (1994), no. 2, págs. 155-234.
8. Lu, Peter J .; Steinhardt, Paul J. (2007). "Azulejos decagonales y cuasi-cristalinos en la arquitectura islámica medieval" (PDF) . Ciencia . 315 (5815): 1106-1110. Código bibliográfico : 2007Sci ... 315.1106L . doi : 10.1126 / science.1135491 . PMID 17322056 . Archivado desde el original (PDF) el 7 de octubre de 2009.  
   "Material de apoyo en línea" (PDF) . Archivado desde el original (PDF) el 26 de marzo de 2009.
9. D. Zorin. Subdivisiones sobre mallas arbitrarias: algoritmos y teoría . Serie de notas de conferencias del Instituto de Ciencias Matemáticas (Singapur). 2006.
10. Perelman, Grisha (11 de noviembre de 2002). "La fórmula de la entropía para el flujo de Ricci y sus aplicaciones geométricas". arXiv : matemáticas.DG / 0211159 .
11. Perelman, Grisha (10 de marzo de 2003). "Ricci flow con cirugía en tres colectores". arXiv : math.DG / 0303109 .
12. Perelman, Grisha (17 de julio de 2003). "Tiempo de extinción finito para las soluciones al flujo de Ricci en ciertos tres múltiples". arXiv : math.DG / 0307245 .
13. J. W. Cannon y EL Swenson, Reconocimiento de grupos discretos de curvatura constante en dimensión 3 . Transacciones de la American Mathematical Society 350 (1998), no. 2, págs. 809–849.

Enlaces externos

• Página de investigación de Bill Floyd . Esta página contiene la mayoría de los trabajos de investigación de Cannon, Floyd y Parry sobre reglas de subdivisión, así como una galería de reglas de subdivisión.