En matemáticas , un semigrupo monogénico es un semigrupo generado por un solo elemento. [1] Los semigrupos monogénicos también se denominan semigrupos cíclicos . [2]
Estructura
El semigrupo monogénico generado por el conjunto singleton { a } se denota por. El conjunto de elementos dees { a , a 2 , a 3 , ...}. Hay dos posibilidades para el semigrupo monogénico:
- una m = una norte ⇒ m = n .
- Existen m ≠ n tal que a m = a n .
En el primer caso es isomorfo al semigrupo ({1, 2, ...}, +) de números naturales bajo la suma . En cuyo caso,es un semigrupo monogénica infinito y el elemento de una se dice que tiene orden infinito . A veces se le llama semigrupo monogénico libre porque también es un semigrupo libre con un generador.
En el último caso, sea m el entero positivo más pequeño tal que a m = a x para algún entero positivo x ≠ m , y sea r el entero positivo más pequeño tal que a m = a m + r . El entero positivo m se denomina índice y el entero positivo r como el período del semigrupo monogénico. . El orden de a se define como m + r -1. El período y el índice satisfacen las siguientes propiedades:
- una m = una m + r
- a m + x = a m + y si y solo si m + x ≡ m + y (mod r )
- = { a , a 2 , ..., a m + r - 1 }
- K a = { a m , a m + 1 , ..., a m + r - 1 } es un subgrupo cíclico y también un ideal de . Se llama el núcleo de a y es el ideal mínimo del semigrupo monogénico.. [3] [4]
El par ( m , r ) de números enteros positivos determina la estructura de semigrupos monogénicos. Por cada par ( m , r ) de números enteros positivos, existe un semigrupo monogénico que tiene un índice my un período r . El semigrupo monogénico que tiene un índice my un período r se denota por M ( m , r ). El semigrupo monogénico M (1, r ) es el grupo cíclico de orden r .
Los resultados de esta sección son válidos para cualquier elemento a de un semigrupo arbitrario y el subgrupo monogénico. genera.
Nociones relacionadas
Una noción relacionada es la de semigrupo periódico (también llamado semigrupo de torsión ), en el que cada elemento tiene un orden finito (o, de manera equivalente, en el que cada subgrupo mongénico es finito). Una clase más general es la de semigrupos cuasiperiódicos (también conocidos como semigrupos o epigrupos ligados a grupos ) en los que cada elemento del semigrupo tiene un poder que se encuentra en un subgrupo. [5] [6]
Un semigrupo aperiódico es aquel en el que cada subsemigrupo monogénico tiene un período de 1.
Ver también
- Detección de ciclos , el problema de encontrar los parámetros de un semigrupo monogénico finito utilizando una cantidad limitada de espacio de almacenamiento.
- Clases especiales de semigrupos
Referencias
- ^ Howie, JM (1976). Introducción a la teoría de los semigrupos . Monografías de LMS. 7 . Prensa académica. págs. 7-11. ISBN 0-12-356950-8.
- ^ AH Clifford; GB Preston (1961). La teoría algebraica de los semigrupos vol . I. Encuestas matemáticas. 7 . Sociedad Matemática Estadounidense. págs. 19-20. ISBN 978-0821802724.
- ^ http://www.encyclopediaofmath.org/index.php/Kernel_of_a_semi-group
- ^ http://www.encyclopediaofmath.org/index.php/Minimal_ideal
- ^ http://www.encyclopediaofmath.org/index.php/Periodic_semi-group
- ^ Peter M. Higgins (1992). Técnicas de teoría de semigrupos . Prensa de la Universidad de Oxford. pag. 4. ISBN 978-0-19-853577-5.