En álgebra abstracta , un epigrupo es un semigrupo en el que cada elemento tiene una potencia que pertenece a un subgrupo . Formalmente, para todos los x en un semigrupo S , existe un número entero positivo n y un subgrupo G de S de tal manera que x n pertenece a G .
Los epigrupos son conocidos por una amplia variedad de otros nombres, incluyendo semigrupo cuasi-periódico , semigrupo unido a grupo, semigrupo completamente π-regular, semigrupo fuertemente π-regular ( sπr [1] ), [2] o simplemente semigrupo π-regular [3 ] (aunque este último es ambiguo).
De manera más general, en un semigrupo arbitrario, un elemento se llama ligado al grupo si tiene una potencia que pertenece a un subgrupo.
Los epigrupos tienen aplicaciones a la teoría de anillos . Muchas de sus propiedades se estudian en este contexto. [4]
Los epigrupos fueron estudiados por primera vez por Douglas Munn en 1961, quien los llamó pseudoinvertibles . [5]
Propiedades
- Los epigrupos son una generalización de semigrupos periódicos , [6] por lo que todos los semigrupos finitos son también epigrupos.
- La clase de epigrupos también contiene todos los semigrupos completamente regulares y todos los semigrupos completamente 0-simples . [5]
- Todos los epigrupos también son eventualmente semigrupos regulares . [7] (también conocido como semigrupos π-regulares)
- Un epigrupo cancelador es un grupo . [8]
- Las relaciones de Green D y J coinciden para cualquier epigrupo. [9]
- Si S es un epigrupo, cualquier subsemigrupo regular de S también es un epigrupo. [1]
- En un epigrupo, el orden Nambooripad (extendido por PR Jones) y el orden parcial natural (de Mitsch) coinciden. [10]
Ejemplos de
- El semigrupo de todas las matrices sobre un anillo de división es un epigrupo. [5]
- El semigrupo multiplicativo de cada anillo artiniano semisimple es un epigrupo. [4] : 5
- Cualquier semigrupo algebraico es un epigrupo.
Estructura
Por analogía con los semigrupos periódicos, un epigrupo S se divide en clases dadas por sus idempotentes , que actúan como identidades para cada subgrupo. Para cada e idempotente de S , el conjunto:se llama una clase de unipotencia (mientras que para los semigrupos periódicos el nombre habitual es clase de torsión). [5]
No es necesario que los sub-grupos de un epigrupo sean epigrupos, pero si lo son, se denominan subepigrupos. Si un epigrupo S tiene una partición en subepigrupos unipotentes (es decir, cada uno contiene un único idempotente), entonces esta partición es única y sus componentes son precisamente las clases de unipotencia definidas anteriormente; dicho epigrupo se denomina unipotente partible . Sin embargo, no todos los epigrupos tienen esta propiedad. Un contraejemplo simple es el semigrupo de Brandt con cinco elementos B 2 porque la clase de unipotencia de su elemento cero no es un subgrupo. B 2 es en realidad el epigrupo por excelencia que no se puede dividir unipotentemente. Un epigrupo es unipotente partible si y solo si no contiene un subsemigrupo que sea una extensión ideal de un epigrupo unipotente por B 2 . [5]
Ver también
Referencias
- ↑ a b Lex E. Renner (2005). Monoides algebraicos lineales . Saltador. págs. 27-28. ISBN 978-3-540-24241-3.
- ^ AV Kelarev, Aplicaciones de epigrupos a la teoría del anillo graduado , Foro de semigrupos , volumen 50, número 1 (1995), 327-350 doi : 10.1007 / BF02573530
- ^ Eric Jespers; Jan Okninski (2007). Álgebras de semigrupo noetheriano . Saltador. pag. 16. ISBN 978-1-4020-5809-7.
- ^ a b Andrei V. Kelarev (2002). Construcciones y aplicaciones de anillos . World Scientific. ISBN 978-981-02-4745-4.
- ^ a b c d e Lev N. Shevrin (2002). "Epigrupos". En Aleksandr Vasilʹevich Mikhalev y Günter Pilz (ed.). El manual conciso de álgebra . Saltador. págs. 23-26. ISBN 978-0-7923-7072-7.
- ^ Peter M. Higgins (1992). Técnicas de teoría de semigrupos . Prensa de la Universidad de Oxford. pag. 4. ISBN 978-0-19-853577-5.
- ^ Peter M. Higgins (1992). Técnicas de teoría de semigrupos . Prensa de la Universidad de Oxford. pag. 50. ISBN 978-0-19-853577-5.
- ^ Peter M. Higgins (1992). Técnicas de teoría de semigrupos . Prensa de la Universidad de Oxford. pag. 12. ISBN 978-0-19-853577-5.
- ^ Peter M. Higgins (1992). Técnicas de teoría de semigrupos . Prensa de la Universidad de Oxford. pag. 28. ISBN 978-0-19-853577-5.
- ^ Peter M. Higgins (1992). Técnicas de teoría de semigrupos . Prensa de la Universidad de Oxford. pag. 48. ISBN 978-0-19-853577-5.