En geometría , la construcción de la bisectriz perpendicular de un cuadrilátero es una construcción que produce un nuevo cuadrilátero a partir de un cuadrilátero dado utilizando las bisectrices perpendiculares a los lados del cuadrilátero anterior. Esta construcción surge naturalmente en un intento de encontrar un reemplazo para el circuncentro de un cuadrilátero en el caso que no sea cíclico.
Definición de la construcción
Suponga que los vértices del cuadrilátero son dadas por . Dejar ser las bisectrices perpendiculares de los lados respectivamente. Entonces sus intersecciones, con subíndices considerados módulo 4, forman el cuadrilátero consecuente . Luego, la construcción se repite en para producir y así.
Se puede obtener una construcción equivalente dejando que los vértices de ser los circuncentros de los 4 triángulos formados seleccionando combinaciones de 3 vértices de.
Propiedades
1. Si no es cíclico, entonces no está degenerado. [1]
2. Cuadrilátero nunca es cíclico. [1] Combinando n. ° 1 y n. ° 2, es siempre no degenerado.
3. Cuadriláteros y son homotéticos y, en particular, similares . [2] Cuadriláteros y también son homotéticos.
3. La construcción de la bisectriz perpendicular se puede invertir mediante la conjugación isogonal . [3] Es decir, dado, es posible construir .
4. Deje ser los ángulos de . Para cada, la proporción de áreas de y viene dado por [3]
5. Si es convexo entonces la secuencia de cuadriláteros converge al punto isóptico de, que es también el punto isóptico de cada . Del mismo modo, si es cóncava, entonces la secuencia obtenido invirtiendo la construcción converge al Punto Isóptico de la 's. [3]
Referencias
- ^ a b J. King, Cuadriláteros formados por bisectrices perpendiculares, en Geometry Turned On , (ed. J. King), MAA Notes 41, 1997, págs. 29-32.
- ^ GC Shephard, La construcción de la bisectriz perpendicular, Geom. Dedicata , 56 (1995) 75–84.
- ^ a b c O. Radko y E. Tsukerman, La construcción de la bisectriz perpendicular, el punto isóptico y la línea de Simson de un cuadrilátero, Forum Geometricorum 12 : 161-189 (2012).
- J. Langr, Problema E1050, Amer. Matemáticas. Mensual , 60 (1953) 551.
- VV Prasolov, Problemas de geometría plana , vol. 1 (en ruso), 1991; Problema 6.31.
- VV Prasolov, Problemas en geometría plana y sólida , vol. 1 (traducido por D. Leites), disponible en http://students.imsa.edu/~tliu/math/planegeo.eps [ enlace muerto permanente ] .
- D. Bennett, Dynamic geometry renueva el interés en un viejo problema, en Geometry Turned On , (ed. J. King), MAA Notes 41, 1997, pp. 25-28.
- J. King, Cuadriláteros formados por bisectrices perpendiculares, en Geometry Turned On , (ed. J. King), MAA Notes 41, 1997, págs. 29–32.
- GC Shephard, La construcción de la bisectriz perpendicular, Geom. Dedicata , 56 (1995) 75–84.
- A. Bogomolny , cuadriláteros formados por bisectrices perpendiculares, mezcla de matemáticas interactivas y rompecabezas , http://www.cut-the-knot.org/Curriculum/Geometry/PerpBisectQuadri.shtml .
- B. Grünbaum, Sobre cuadrángulos derivados de cuadrángulos — Parte 3, Geombinatoria 7 (1998), 88–94.
- O. Radko y E. Tsukerman, La construcción de la bisectriz perpendicular, el punto isóptico y la línea de Simson de un cuadrilátero, Forum Geometricorum 12 : 161–189 (2012).