En matemáticas , la persistencia de un número es el número de veces que se debe aplicar una operación dada a un número entero antes de llegar a un punto fijo en el que la operación ya no altera el número.
Por lo general, esto implica la persistencia aditiva o multiplicativa de un número entero, que es la frecuencia con la que uno tiene que reemplazar el número por la suma o el producto de sus dígitos hasta que se llega a un solo dígito. Debido a que los números se dividen en sus dígitos, la persistencia aditiva o multiplicativa depende de la base . En el resto de este artículo, se supone una base diez.
El estado final de un solo dígito alcanzado en el proceso de cálculo de la persistencia aditiva de un entero es su raíz digital . Dicho de otra manera, la persistencia aditiva de un número cuenta cuántas veces debemos sumar sus dígitos para llegar a su raíz digital.
Ejemplos de
La persistencia aditiva de 2718 es 2: primero encontramos que 2 + 7 + 1 + 8 = 18, y luego que 1 + 8 = 9. La persistencia multiplicativa de 39 es 3, porque se necesitan tres pasos para reducir 39 a una sola dígito: 39 → 27 → 14 → 4. Además, 39 es el número más pequeño de persistencia multiplicativa 3.
Números más pequeños de una persistencia multiplicativa dada
Para una base de 10, se cree que no hay ningún número con una persistencia multiplicativa> 11: se sabe que esto es cierto para números hasta 10 20000 . [1] [2] Los números más pequeños con persistencia 0, 1, ... son:
- 0, 10, 25, 39, 77, 679, 6788, 68889, 2677889, 26888999, 3778888999, 277777788888899. (secuencia A003001 en la OEIS )
La búsqueda de estos números se puede acelerar utilizando propiedades adicionales de los dígitos decimales de estos números récord. Estos dígitos deben ordenarse y, a excepción de los dos primeros dígitos, todos los dígitos deben ser 7, 8 o 9. También existen restricciones adicionales en los dos primeros dígitos. Con base en estas restricciones, el número de candidatos para números de n dígitos con una persistencia récord es solo proporcional al cuadrado de n , una pequeña fracción de todos los números posibles de n dígitos. Sin embargo, cualquier número que falte en la secuencia anterior tendría una persistencia multiplicativa> 11; Se cree que tales números no existen y, si es que existen, deberían tener más de 20.000 dígitos. [1]
Números más pequeños de una persistencia aditiva determinada
Sin embargo, la persistencia aditiva de un número puede volverse arbitrariamente grande (prueba: para un número dado , la persistencia del número que consta de repeticiones del dígito 1 es 1 más alto que el de ). Los números más pequeños de persistencia aditiva 0, 1, ... son:
El siguiente número de la secuencia (el número más pequeño de persistencia aditiva 5) es 2 × 10 2 × (10 22 - 1) / 9 - 1 (es decir, 1 seguido de 2222222222222222222222 9). Para cualquier base fija, la suma de los dígitos de un número es proporcional a su logaritmo ; por lo tanto, la persistencia aditiva es proporcional al logaritmo iterado . Puede encontrar más información sobre la persistencia aditiva de un número aquí .
Funciones con persistencia limitada
Algunas funciones solo permiten la persistencia hasta cierto punto.
Por ejemplo, la función que toma el dígito mínimo solo permite la persistencia 0 o 1, ya sea al comenzar o pasar a un número de un solo dígito.
Referencias
- ↑ a b Sloane, N. J. A. (ed.). "Secuencia A003001" . La enciclopedia en línea de secuencias de enteros . Fundación OEIS.
- ^ Eric W. Weisstein. "Persistencia multiplicativa" . mathworld.wolfram.com .
Literatura
- Guy, Richard K. (2004). Problemas no resueltos en teoría de números (3ª ed.). Springer-Verlag . págs. 398–399. ISBN 978-0-387-20860-2. Zbl 1058.11001 .
- Meimaris, Antonios (2015). Sobre la persistencia aditiva de un número en base p . Preimpresión.
enlaces externos
- ¿Qué tiene de especial 277777788888899? - Numberphile en YouTube (21 de marzo de 2019)