Matriz de transformación

En álgebra lineal , las transformaciones lineales se pueden representar mediante matrices . Si es una transformación lineal que se asigna a y es un vector de columna con entradas, entonces ${\ estilo de visualización T}$ ${\ estilo de visualización \ mathbb {R} ^ {n}}$ ${\ estilo de visualización \ mathbb {R} ^ {m}}$ ${\ estilo de visualización \ matemáticas {x}}$ ${\ estilo de visualización n}$

para alguna matriz , llamada matriz de transformación de ^[^{cita requerida}^] . Tenga en cuenta que tiene filas y columnas, mientras que la transformación es de a . Hay expresiones alternativas de matrices de transformación que involucran vectores fila que son preferidas por algunos autores. ^[1]^[2] ${\ estilo de visualización m \ veces n}$ ${\ estilo de visualización A}$ ${\ estilo de visualización T}$ ${\ estilo de visualización A}$ ${\ estilo de visualización m}$ ${\ estilo de visualización n}$ ${\ estilo de visualización T}$ ${\ estilo de visualización \ mathbb {R} ^ {n}}$ ${\ estilo de visualización \ mathbb {R} ^ {m}}$

Las matrices permiten que se muestren transformaciones lineales arbitrarias en un formato coherente, adecuado para el cálculo. ^[3] Esto también permite que las transformaciones se compongan fácilmente (multiplicando sus matrices).

Las transformaciones lineales no son las únicas que se pueden representar mediante matrices. Algunas transformaciones que no son lineales en un espacio euclidiano de n dimensiones R ⁿ se pueden representar como transformaciones lineales en el espacio de n +1 dimensiones R ^{n +1} . Estos incluyen transformaciones afines (como la traducción ) y transformaciones proyectivas . Por esta razón, las matrices de transformación 4×4 se utilizan ampliamente en los gráficos por computadora en 3D . Estas matrices de transformación de n +1 dimensiones se denominan, según su aplicación, matrices de transformación afines ,matrices de transformación proyectivas , o más generalmente matrices de transformación no lineales . Con respecto a una matriz n -dimensional , una matriz n +1-dimensional puede describirse como una matriz aumentada .

En las ciencias físicas , una transformación activa es aquella que realmente cambia la posición física de un sistema y tiene sentido incluso en ausencia de un sistema de coordenadas, mientras que una transformación pasiva es un cambio en la descripción de coordenadas del sistema físico ( cambio de base ). ). La distinción entre transformaciones activas y pasivas es importante. Por defecto, por transformación , los matemáticos suelen referirse a transformaciones activas, mientras que los físicos podrían referirse a cualquiera de las dos.

Dicho de otra manera, una transformación pasiva se refiere a la descripción del mismo objeto visto desde dos marcos de coordenadas diferentes.

Efecto de aplicar varias matrices de transformación afines 2D en un cuadrado unitario. Tenga en cuenta que las matrices de reflexión son casos especiales de la matriz de escala.

reproducir medios

Las transformaciones afines en el plano 2D se pueden realizar en tres dimensiones. La traslación se realiza cortando paralelamente al plano zy y la rotación se realiza alrededor del eje z.

Comparación de los efectos de aplicar matrices de transformación de perspectiva y afines 2D en un cuadrado unitario.