En matemáticas , una base ordenada de un espacio vectorial de dimensión finita n permite representar unívocamente cualquier elemento del espacio vectorial mediante un vector de coordenadas , que es una secuencia de n escalares llamados coordenadas . Si se consideran dos bases diferentes, el vector de coordenadas que representa un vector v en una base es, en general, diferente del vector de coordenadas que representa v en la otra base. Un cambio de baseconsiste en convertir cada afirmación expresada en términos de coordenadas relativas a una base en una afirmación expresada en términos de coordenadas relativas a la otra base. [1] [2] [3]
Tal conversión resulta de la fórmula de cambio de base que expresa las coordenadas relativas a una base en términos de coordenadas relativas a la otra base. Usando matrices , esta fórmula se puede escribir
donde "antiguo" y "nuevo" se refieren respectivamente a la primera base definida y la otra base, y son los vectores columna de las coordenadas del mismo vector en las dos bases, yes la matriz de cambio de base (también llamada matriz de transición ), que es la matriz cuyas columnas son los vectores de coordenadas de los nuevos vectores de base sobre la base anterior.
Este artículo trata principalmente de espacios vectoriales de dimensión finita. Sin embargo, muchos de los principios también son válidos para espacios vectoriales de dimensión infinita.
Fórmula de cambio de base
Dejar ser una base de un espacio vectorial de dimensión finita V sobre un campo F . [a]
Para j = 1, ..., n , se puede definir un vector w j por sus coordenadas encima
Dejar
ser la matriz cuya j- ésima columna está formada por las coordenadas de w j . (Aquí y en lo que sigue, el índice i se refiere siempre a las filas de A ymientras que el índice j se refiere siempre a las columnas de A y el tal convención es útil para evitar errores en cálculos explícitos).
Configuración uno tiene eso es una base de V si y solo si la matriz A es invertible , o de manera equivalente si tiene un determinante distinto de cero . En este caso, se dice que A es la matriz de cambio de base desde la base a la base
Dado un vector dejar sus coordenadas sobre y sus coordenadas sobre es decir
(Se podría tomar el mismo índice de suma para las dos sumas, pero elegir sistemáticamente los índices i para la base anterior yj para la nueva hace más claras las fórmulas que siguen y ayuda a evitar errores en las demostraciones y cálculos explícitos).
La fórmula de cambio de base expresa las coordenadas sobre la base anterior en términos de las coordenadas sobre la base nueva. Con la notación anterior, es
En términos de matrices, la fórmula de cambio de base es
dónde y son las matrices columna de las coordenadas de z sobre y respectivamente.
Prueba: Usando la definición anterior de la matriz de cambio de base, uno tiene
Como la fórmula de cambio de base resulta de la unicidad de la descomposición de un vector sobre una base.
Ejemplo
Considere el espacio vectorial euclidiano Su base estándar consiste en los vectores y Si uno los gira en un ángulo de t , se obtiene una nueva base formada por y
Entonces, la matriz de cambio de base es
La fórmula de cambio de base afirma que, si son las nuevas coordenadas de un vector entonces uno tiene
Es decir,
Esto se puede verificar escribiendo
En términos de mapas lineales
Normalmente, una matriz representa un mapa lineal y el producto de una matriz y una matriz de columna representa la aplicación de la función del mapa lineal correspondiente al vector cuyas coordenadas forman la matriz de columna. La fórmula de cambio de base es un caso específico de este principio general, aunque esto no se desprende inmediatamente de su definición y prueba.
Cuando se dice que una matriz representa un mapa lineal, se hace referencia implícitamente a bases de espacios vectoriales implícitos y al hecho de que la elección de una base induce un isomorfismo entre un espacio vectorial y F n , donde F es el campo de escalares. Cuando solo se considera una base para cada espacio vectorial, vale la pena dejar implícito este isomorfismo y trabajar hasta un isomorfismo. Como aquí se consideran varias bases del mismo espacio vectorial, se requiere una redacción más precisa.
Sea F un campo , el conjuntode las n- tuplas es un espacio de vectores F cuya suma y multiplicación escalar se definen por componentes. Su base estándar es la base que tiene como su i- ésimo elemento la tupla con todos los componentes iguales a 0 excepto el i- ésimo que es 1 .
Una base de un espacio vectorial F V define un isomorfismo lineal por
Por el contrario, tal isomorfismo lineal define una base, que es la imagen por de la base estándar de
Dejar ser la "vieja base" de un cambio de base, y el isomorfismo asociado. Dada una matriz de cambio de base A , considérela como la matriz de un endomorfismo de Finalmente, definamos
(dónde denota composición de funciones ), y
Una simple verificación, permite demostrar que esta definición de es el mismo que el de la sección anterior.
Ahora, componiendo la ecuación con a la izquierda y a la derecha, se obtiene
De ello se deduce que, por uno tiene
que es la fórmula de cambio de base expresada en términos de mapas lineales en lugar de coordenadas.
Función definida en un espacio vectorial
Una función que tiene un espacio vectorial como dominio se especifica comúnmente como una función multivariante cuyas variables son las coordenadas en alguna base del vector sobre el que se aplica la función .
Cuando se cambia la base, se cambia la expresión de la función. Este cambio se puede calcular sustituyendo las coordenadas "antiguas" por sus expresiones en términos de las coordenadas "nuevas". Más precisamente, si f ( x ) es la expresión de la función en términos de las coordenadas antiguas, y si x = A y es la fórmula de cambio de base, entonces f ( A y ) es la expresión de la misma función en términos de las nuevas coordenadas.
El hecho de que la fórmula de cambio de base exprese las coordenadas antiguas en términos de la nueva puede parecer poco natural, pero parece tan útil, ya que aquí no se necesita inversión de matriz .
Como la fórmula de cambio de base implica solo funciones lineales , muchas propiedades de la función se mantienen mediante un cambio de base. Esto permite definir estas propiedades como propiedades de funciones de un vector variable que no están relacionadas con ninguna base específica. Entonces, una función cuyo dominio es un espacio vectorial o un subconjunto del mismo es
- una función lineal,
- una función polinomial ,
- una función continua ,
- una función diferenciable ,
- una función suave ,
- una función analítica ,
si la función multivariante que la representa sobre alguna base —y por lo tanto sobre todas las bases— tiene la misma propiedad.
Esto es especialmente útil en la teoría de variedades , ya que permite extender los conceptos de funciones continuas, diferenciables, suaves y analíticas a funciones que se definen en una variedad.
Mapas lineales
Considere un mapa lineal T : W → V desde un espacio vectorial W de dimensión n a un espacio vectorial V de dimensión m . Está representado sobre bases "antiguas" de V y W por una matriz M de m × n . Un cambio de bases se define por una m × m de cambio de base de la matriz P de V , y un n × n de cambio de base de la matriz Q de W .
Sobre las bases "nuevas", la matriz de T es
Ésta es una consecuencia directa de la fórmula de cambio de base.
Endomorfismos
Los endomorfismos , son mapas lineales de un espacio vectorial V a sí mismo. Para un cambio de base, se aplica la fórmula de la sección anterior, con la misma matriz de cambio de base en ambos lados de la fórmula. Es decir, si M es la matriz cuadrada de un endomorfismo de V sobre una base "antigua", y P es una matriz de cambio de base, entonces la matriz del endomorfismo sobre la base "nueva" es
Como cada matriz invertible puede usarse como una matriz de cambio de base, esto implica que dos matrices son similares si y solo representan el mismo endomorfismo en dos bases diferentes.
Formas bilineales
Una forma bilineal en un espacio vectorial V sobre un campo F es una función V × V → F que es lineal en ambos argumentos. Es decir, B : V × V → F es bilineal si los mapas y son lineales para cada fijo
La matriz B de una forma bilineal B sobre la base(la base "antigua" en lo que sigue) es la matriz cuya entrada de la i- ésima fila y la j- ésima columna es B ( i , j ) . De ello se deduce que si v y w son las matrices columna de las coordenadas de dos vectores v y w , uno tiene
dónde denota la transpuesta de la matriz v .
Si P es una matriz de cambio de base, entonces un cálculo sencillo muestra que la matriz de la forma bilineal sobre la nueva base es
Una forma bilineal simétrica es una forma bilineal B tal quepara cada v y w en V . De ello se deduce que la matriz de B en cualquier base es simétrica . Esto implica que la propiedad de ser una matriz simétrica debe mantenerse mediante la fórmula de cambio de base anterior. También se puede comprobar esto si se observa que la transposición de un producto matricial es el producto de las transposiciones calculadas en orden inverso. En particular,
y los dos miembros de esta ecuación son iguales si la matriz B es simétrica.
Si la característica del campo de tierra F no es dos, entonces para cada forma bilineal simétrica hay una base para la cual la matriz es diagonal . Además, las entradas resultantes distintas de cero en la diagonal se definen hasta la multiplicación por un cuadrado. Entonces, si el campo de tierra es el campode los números reales , estas entradas distintas de cero se pueden elegir para que sean 1 o –1 . La ley de inercia de Sylvester es un teorema que afirma que los números de 1 y de –1 dependen sólo de la forma bilineal y no del cambio de base.
Las formas bilineales simétricas sobre los reales se encuentran a menudo en geometría y física , típicamente en el estudio de los cuadrículas y de la inercia de un cuerpo rígido . En estos casos, las bases ortonormales son especialmente útiles; esto significa que generalmente se prefiere restringir los cambios de base a aquellos que tienen una matriz de cambio de base ortogonal , es decir, una matriz tal queTales matrices tienen la propiedad fundamental de que la fórmula de cambio de base es la misma para una forma bilineal simétrica y el endomorfismo que está representado por la misma matriz simétrica. El teorema espectral afirma que, dada tal matriz simétrica, hay un cambio ortogonal de base tal que la matriz resultante (tanto de la forma bilineal como del endomorfismo) es una matriz diagonal con los valores propios de la matriz inicial en la diagonal. De ello se deduce que, sobre los reales, si la matriz de un endomorfismo es simétrica, entonces es diagonalizable .
Ver también
- Transformada integral , el análogo continuo del cambio de base.
- Transformación activa y pasiva
Notas
- ^ Aunque una base es formalmente un conjunto , lanotación de tupla es conveniente aquí, ya que la indexación por los primeros enteros positivos hace que la base sea una base ordenada .
Referencias
- ^ Anton (1987 , págs. 221-237)
- ^ Beauregard y Fraleigh (1973 , págs. 240–243)
- ^ Nering (1970 , págs. 50-52)
Bibliografía
- Anton, Howard (1987), Álgebra lineal elemental (5.a ed.), Nueva York: Wiley , ISBN 0-471-84819-0
- Beauregard, Raymond A .; Fraleigh, John B. (1973), Un primer curso de álgebra lineal: con introducción opcional a grupos, anillos y campos , Boston: Houghton Mifflin Company , ISBN 0-395-14017-X
- Nering, Evar D. (1970), Álgebra lineal y teoría de matrices (2a ed.), Nueva York: Wiley , LCCN 76091646
enlaces externos
- Conferencia de álgebra lineal del MIT sobre el cambio de base , de MIT OpenCourseWare
- Conferencia de Khan Academy sobre el cambio de base , de Khan Academy