En matemáticas , una línea de fase es un diagrama que muestra el comportamiento cualitativo de una ecuación diferencial ordinaria autónoma en una sola variable,. La línea de fase es la forma unidimensional de la general-espacio de fase dimensional , y se puede analizar fácilmente.
![](http://wikiimg.tojsiabtv.com/wikipedia/en/thumb/3/37/Phase_line_example.svg/350px-Phase_line_example.svg.png)
Diagrama
Una línea, generalmente vertical, representa un intervalo del dominio de la derivada . Los puntos críticos (es decir, raíces de la derivada, puntos tal que ) se indican, y los intervalos entre los puntos críticos tienen sus signos indicados con flechas: un intervalo sobre el cual la derivada es positiva tiene una flecha apuntando en la dirección positiva a lo largo de la línea (hacia arriba o hacia la derecha), y un intervalo sobre el cual la derivada es negativo tiene una flecha apuntando en la dirección negativa a lo largo de la línea (hacia abajo o hacia la izquierda). La línea de fase es idéntica en forma a la línea utilizada en la prueba de la primera derivada , excepto que se dibuja verticalmente en lugar de horizontalmente, y la interpretación es prácticamente idéntica, con la misma clasificación de puntos críticos.
Ejemplos de
Los ejemplos más simples de una línea de fase son las líneas de fase triviales, correspondientes a funciones que no cambian de signo: si , cada punto es un equilibrio estable (no cambia); Si para todos , luego siempre está aumentando, y si luego siempre está disminuyendo.
Los ejemplos no triviales más simples son el modelo / decaimiento de crecimiento exponencial (un equilibrio inestable / estable) y el modelo de crecimiento logístico (dos equilibrios, uno estable, uno inestable).
Clasificación de puntos críticos
Un punto crítico puede clasificarse como estable, inestable o semi-estable (de manera equivalente, sumidero, fuente o nodo), mediante la inspección de sus flechas vecinas.
Si ambas flechas apuntan hacia el punto crítico, es estable (un sumidero): las soluciones cercanas convergerán asintóticamente al punto crítico, y la solución es estable bajo pequeñas perturbaciones, lo que significa que si la solución se perturba, volverá a (converger a) la solución.
Si ambas flechas apuntan lejos del punto crítico, es inestable (una fuente): las soluciones cercanas divergirán del punto crítico y la solución es inestable bajo pequeñas perturbaciones, lo que significa que si la solución se altera, no volverá al punto crítico. solución.
De lo contrario, si una flecha apunta hacia el punto crítico y la otra apunta hacia afuera, es semi-estable (un nodo): es estable en una dirección (donde la flecha apunta hacia el punto) e inestable en la otra dirección (donde la flecha apunta en dirección opuesta al punto).
Ver también
- Prueba de primera derivada , análoga en cálculo diferencial elemental
- Plano de fase , forma bidimensional
- Espacio de fase ,-forma dimensional
Referencias
- Equilibria and the Phase Line , por Mohamed Amine Khamsi, SOS Math, última actualización 1998-6-22
- "La línea de fase y el gráfico del campo vectorial" . math.bu.edu . Consultado el 23 de abril de 2015 .