En matemáticas aplicadas , en particular en el contexto del análisis de sistemas no lineales , un plano de fase es un despliegue visual de ciertas características de ciertos tipos de ecuaciones diferenciales ; un plano de coordenadas cuyos ejes son los valores de las dos variables de estado, digamos ( x , y ), o ( q , p ), etc. (cualquier par de variables). Es un bidimensional caso del general n -dimensional espacio de fase .
El método del plano de fase se refiere a determinar gráficamente la existencia de ciclos límite en las soluciones de la ecuación diferencial.
Las soluciones de la ecuación diferencial son una familia de funciones . Gráficamente, esto se puede trazar en el plano de fase como un campo vectorial bidimensional . Se dibujan los vectores que representan las derivadas de los puntos con respecto a un parámetro (digamos tiempo t ), es decir ( dx / dt , dy / dt ), en puntos representativos. Con suficientes de estas flechas en su lugar, se puede visualizar el comportamiento del sistema sobre las regiones del plano en análisis y se pueden identificar fácilmente los ciclos límite .
Todo el campo es el retrato de fase , un camino particular tomado a lo largo de una línea de flujo (es decir, un camino siempre tangente a los vectores) es un camino de fase . Los flujos en el campo vectorial indican la evolución temporal del sistema que describe la ecuación diferencial.
De esta forma, los planos de fase son útiles para visualizar el comportamiento de los sistemas físicos ; en particular, de sistemas oscilatorios como los modelos depredador-presa (véanse las ecuaciones de Lotka-Volterra ). En estos modelos, las trayectorias de fase pueden "entrar en espiral" hacia cero, "salir en espiral" hacia el infinito o llegar a situaciones neutrales estables llamadas centros donde la trayectoria trazada puede ser circular, elíptica u ovoide, o alguna variante de la misma. Esto es útil para determinar si la dinámica es estable o no. [1]
Otros ejemplos de sistemas oscilatorios son ciertas reacciones químicas con múltiples pasos, algunos de los cuales involucran equilibrios dinámicos en lugar de reacciones que se completan. En tales casos, se puede modelar el aumento y la disminución de la concentración de reactivo y producto (o masa, o cantidad de sustancia) con las ecuaciones diferenciales correctas y una buena comprensión de la cinética química . [2]
Ejemplo de un sistema lineal
Un sistema bidimensional de ecuaciones diferenciales lineales se puede escribir en la forma: [1]
que se puede organizar en una ecuación matricial :
donde A es la matriz de coeficientes de 2 × 2 anterior, y v = ( x , y ) es un vector de coordenadas de dos variables independientes .
Estos sistemas pueden resolverse analíticamente, en este caso integrando: [3]
aunque las soluciones son funciones implícitas en x y y , y son difíciles de interpretar. [1]
Resolver usando valores propios
Más comúnmente, se resuelven con los coeficientes del lado derecho escritos en forma de matriz utilizando valores propios λ, dados por el determinante :
y vectores propios :
Los autovalores representan las potencias de los componentes exponenciales y los autovectores son coeficientes. Si las soluciones están escritas en forma algebraica, expresan el factor multiplicativo fundamental del término exponencial. Debido a la falta de singularidad de los vectores propios, cada solución a la que se llega de esta manera tiene constantes indeterminadas c 1 , c 2 , ... c n .
La solución general es:
donde λ 1 y λ 2 son los autovalores, y (k 1 , k 2 ), (k 3 , k 4 ) son los autovectores básicos. Las constantes c 1 y c 2 dan cuenta de la no singularidad de los vectores propios y no se pueden resolver a menos que se dé una condición inicial para el sistema.
El determinante anterior conduce al polinomio característico :
que es solo una ecuación cuadrática de la forma:
dónde;
("tr" denota rastro ) y
La solución explícita de los valores propios viene dada por la fórmula cuadrática :
dónde
Autovectores y nodos
Los vectores propios y los nodos determinan el perfil de las trayectorias de fase, proporcionando una interpretación pictórica de la solución al sistema dinámico, como se muestra a continuación.
Luego, el plano de fase se configura primero dibujando líneas rectas que representan los dos vectores propios (que representan situaciones estables en las que el sistema converge hacia esas líneas o se aleja de ellas). Luego, el plano de fase se traza utilizando líneas completas en lugar de guiones de campo de dirección. Los signos de los valores propios indican el comportamiento del plano de fase:
- Si los signos son opuestos, la intersección de los autovectores es un punto silla .
- Si ambos signos son positivos, los vectores propios representan situaciones estables de las que el sistema se aleja y la intersección es un nodo inestable .
- Si ambos signos son negativos, los vectores propios representan situaciones estables hacia las que el sistema converge y la intersección es un nodo estable .
Lo anterior se puede visualizar recordando el comportamiento de términos exponenciales en soluciones de ecuaciones diferenciales.
Autovalores repetidos
Este ejemplo cubre solo el caso de valores propios reales separados. Los valores propios reales repetidos requieren resolver la matriz de coeficientes con un vector desconocido y el primer vector propio para generar la segunda solución de un sistema de dos por dos. Sin embargo, si la matriz es simétrica, es posible utilizar el vector propio ortogonal para generar la segunda solución.
Autovalores complejos
Los autovalores y autovectores complejos generan soluciones en forma de senos y cosenos , así como exponenciales. Una de las simplicidades de esta situación es que solo se necesita uno de los autovalores y uno de los autovectores para generar el conjunto de soluciones completo para el sistema.
Ver también
- Línea de fase , caja unidimensional
- Espacio de fase , caso n- dimensional
- Retrato de fase
Referencias
- ^ a b c d D.W. Jordán; P. Smith (2007). Ecuaciones diferenciales ordinarias no lineales: Introducción para científicos e ingenieros (4ª ed.). Prensa de la Universidad de Oxford. ISBN 978-0-19-920825-8.
- ^ KT Alligood; TD Sauer; JA Yorke (1996). Caos: una introducción a los sistemas dinámicos . Saltador. ISBN 978-0-38794-677-1.
- ^ WE Boyce; RC Diprima (1986). Ecuaciones diferenciales elementales y problemas de valores en la frontera (4ª ed.). John Wiley e hijos. ISBN 0-471-83824-1.
enlaces externos
- Universidad Lamar, Notas de matemáticas en línea - Plano de fase , P. Dawkins
- Universidad Lamar, Notas de matemáticas en línea - Sistemas de ecuaciones diferenciales , P. Dawkins
- Descripción general del método del plano de fase