En matemáticas , el mapa de Plücker incorpora el Grassmannian , cuyos elementos son subespacios k - dimensionales de un espacio vectorial n- dimensional V , en un espacio proyectivo , realizándolo así como una variedad algebraica . Más precisamente, el mapa de Plücker incrusta en la proyectivización de El -ésimo poder exterior de. La imagen es algebraica y consiste en la intersección de un número de cuadrículas definidas por las relaciones de Plücker (ver más abajo).
La incrustación de Plücker fue definida por primera vez por Julius Plücker en el casocomo una forma de describir las líneas en el espacio tridimensional (que, como líneas proyectivas en el espacio proyectivo real, corresponden a subespacios bidimensionales de un espacio vectorial de cuatro dimensiones). La imagen de esa incrustación es la cuadrática de Klein en RP 5 .
Hermann Grassmann generalizó la inclusión de Plücker en k y n arbitrarios . Las coordenadas homogéneas de la imagen del Grassmannian bajo la incrustación de Plücker, en relación con la base en el espacio exterior correspondiente a la base natural en (dónde es el campo base ) se denominan coordenadas de Plücker .
Definición
Denotando por la -espacio vectorial dimensional sobre el campo , y por el Grassmanniano de -subespacios dimensionales de , la incrustación de Plücker es el mapa ι definido por
dónde es una base para el elemento y es la clase de equivalencia proyectiva del elemento de El el poder exterior de .
Esta es una incrustación de Grassmannian en la proyectivización . La imagen se puede caracterizar completamente como la intersección de una serie de cuadrículas, las cuadrículas de Plücker (ver más abajo), que se expresan mediante relaciones cuadráticas homogéneas en las coordenadas de Plücker (ver más abajo) que se derivan del álgebra lineal .
El anillo de soporte aparece como el anillo de funciones polinomiales en la potencia exterior. [1]
Relaciones Plücker
La incrustación del Grassmanniano satisface algunas relaciones cuadráticas muy simples, generalmente llamadas relaciones de Plücker o relaciones de Grassmann-Plücker . Estos muestran que Grassmannian incrusta como una subvariedad algebraica dey dar otro método de construir el Grassmanniano. Para establecer las relaciones de Grassmann-Plücker, sea W el subespacio k -dimensional generado por la base de los vectores columna. Dejar ser el matriz de coordenadas homogéneas, cuyas columnas son . Para cualquier secuencia ordenada de enteros, deje ser el determinante de la matriz cuyas filas son las filas de . Luego, hasta la proyectivización,son las coordenadas de Plücker del elemento del Grassmannian cuyas coordenadas homogéneas son . Son las coordenadas lineales de la imagen. de bajo el mapa de Plücker, relativo a la base estándar en el espacio exterior .
Para dos secuencias ordenadas cualesquiera:
de enteros positivos , las siguientes ecuaciones homogéneas son válidas y determinan la imagen de W bajo el mapa de Plücker:
( 1 )
dónde denota la secuencia con el término omitido.
Cuando dim ( V ) = 4 y k = 2 , la Grassmannian más simple que no es un espacio proyectivo, lo anterior se reduce a una sola ecuación. Denotando las coordenadas de por
la imagen de bajo el mapa de Plücker se define por la ecuación única
En general, se necesitan muchas más ecuaciones, como en ( 1 ), para definir la imagen de la incrustación de Plücker [2], aunque estas no son, en general, algebraicamente independientes .
Referencias
- ^ Björner, Anders; Las Vergnas, Michel ; Sturmfels, Bernd ; White, Neil; Ziegler, Günter (1999), Matroides orientadas , Enciclopedia de las matemáticas y sus aplicaciones, 46 (2ª ed.), Cambridge University Press , p. 79, ISBN 0-521-77750-X, Zbl 0944.52006
- ^ Griffiths, Phillip ; Harris, Joseph (1994), Principios de geometría algebraica , Wiley Classics Library (2ª ed.), Nueva York: John Wiley & Sons , p. 211, ISBN 0-471-05059-8, MR 1288523 , Zbl 0.836,14001,
Otras lecturas
- Miller, Ezra; Sturmfels, Bernd (2005). Álgebra conmutativa combinatoria . Textos de Posgrado en Matemáticas. 227 . Nueva York, NY: Springer-Verlag . ISBN 0-387-23707-0. Zbl 1090.13001 .