Distancia de un punto a una línea
En geometría euclidiana , la distancia de un punto a una línea es la distancia más corta desde un punto dado a cualquier punto de una línea recta infinita . Es la distancia perpendicular del punto a la línea, la longitud del segmento de línea que une el punto al punto más cercano en la línea. La fórmula para calcularlo se puede derivar y expresar de varias formas.
Conocer la distancia de un punto a una línea puede ser útil en varias situaciones, por ejemplo, encontrar la distancia más corta para llegar a una carretera, cuantificar la dispersión en un gráfico, etc. En la regresión de Deming , un tipo de ajuste de curva lineal, si el las variables dependientes e independientes tienen la misma varianza, lo que da como resultado una regresión ortogonal en la que el grado de imperfección del ajuste se mide para cada punto de datos como la distancia perpendicular del punto a la línea de regresión.
En el caso de una línea en el plano dado por la ecuación ax + por + c = 0 , donde un , b y c son reales constantes con una y b no ambos cero, la distancia desde la línea a un punto ( x 0 , y 0 ) es [1] [2] : p.14
En la ecuación general de una línea, ax + por + c = 0 , una y b no pueden ser tanto cero a menos c es también cero, en cuyo caso la ecuación no define una línea. Si a = 0 y b ≠ 0 , la línea es horizontal y tiene la ecuación y = - c / b . La distancia desde ( x 0 , y 0 ) a esta línea se mide a lo largo de un segmento de línea vertical de longitud | y 0 - (- c / b) | = | por 0 + c | / | b | de acuerdo con la fórmula. De manera similar, para líneas verticales ( b = 0) la distancia entre el mismo punto y la línea es | ax 0 + c | / | a | , medido a lo largo de un segmento de línea horizontal.
Si la línea pasa por dos puntos P 1 = ( x 1 , y 1 ) y P 2 = ( x 2 , y 2 ) entonces la distancia de ( x 0 , y 0 ) a la línea es: [4]
El denominador de esta expresión es la distancia entre P 1 y P 2 . El numerador es el doble del área del triángulo con sus vértices en los tres puntos, ( x 0 , y 0 ) , P 1 y P 2 . Ver: Área de un triángulo § Uso de coordenadas . La expresión es equivalente a h = 2 A / B , que puede ser obtenido por la reordenación de la fórmula estándar para el área de un triángulo: A = 1 / 2 bh , dondeb es la longitud de un lado y h es la altura perpendicular desde el vértice opuesto.
