En la geometría algebraica , la primera polar , o simplemente polar de una curva plana algebraica C de grado n con respecto a un punto Q es una curva algebraica de grado n -1, que contiene todos los puntos de C cuya línea tangente pasa a través de Q . Se utiliza para investigar la relación entre la curva y su dual , por ejemplo, en la derivación de las fórmulas de Plücker .
Definición
Sea C en coordenadas homogéneas por f ( x, y, z ) = 0 donde f es un polinomio homogéneo de grado n , y sean las coordenadas homogéneas de Q ( a , b , c ). Definir el operador
Entonces Δ Q f es un polinomio homogéneo de grado n -1 y Δ Q f ( x, y, z ) = 0 define una curva de grado n -1 llamada la primera polar de C con respecto a Q .
Si P = ( p , q , r ) es un punto no singular en la curva C, entonces la ecuación de la tangente en P es
En particular, P está en la intersección de C y su primera polar con respecto a Q si y sólo si Q está en la tangente a C en P . Para un punto doble de C , las derivadas parciales de f son todas 0, por lo que el primer polar también contiene estos puntos.
Clase de una curva
La clase de C puede definirse como el número de tangentes que se pueden dibujar a C desde un punto que no está en C (contando multiplicidades e incluyendo tangentes imaginarias). Cada una de estas tangentes toca C en uno de los puntos de intersección de C y el primer polar, y por el teorema de Bézout hay como máximo n ( n -1) de estos. Esto coloca un límite superior de n ( n −1) en la clase de una curva de grado n . La clase se puede calcular exactamente contando el número y el tipo de puntos singulares en C (consulte la fórmula de Plücker ).
Polares superiores
El p-ésimo polar de un C para un número natural p se define como Δ Q p f ( x, y, z ) = 0. Esta es una curva de grado n - p . Cuando p es n -1 el p -ésimo polar es una línea llamada la línea polar de C con respecto a Q . Del mismo modo, cuando p es n -2 la curva se denomina cónica polar de C .
Usando series de Taylor en varias variables y explotando la homogeneidad, f (λ a + μ p , λ b + μ q , λ c + μ r ) se puede expandir de dos maneras como
y
La comparación de los coeficientes de λ p μ n - p muestra que
En particular, el p -ésimo polar de C con respecto a Q es el lugar geométrico de los puntos P de manera que la ( n - p ) -ésimo polar de C con respecto a P pasa a través de Q . [1]
Polos
Si la línea polar de C con respecto a un punto Q es una línea L , entonces Q se dice que es un polo de L . Una línea dada tiene ( n -1) 2 polos (multiplicidades de conteo etc.) donde n es el grado de C . Para ver esto, escoger dos puntos P y Q en L . El lugar geométrico de los puntos cuyas líneas polares pasan por P es el primer polar de P y esta es una curva de grado n - 1 . De manera similar, el lugar geométrico de los puntos cuyas líneas polares pasan por Q es el primer polar de Q y esta también es una curva de grado n - 1 . La línea polar de un punto es L si y solo si contiene tanto P como Q , por lo que los polos de L son exactamente los puntos de intersección de los dos primeros polares. Por el teorema de Bézout estas curvas tienen ( n -1) 2 puntos de intersección y estos son los polos de L . [2]
El arpillera
Para un punto dado Q = ( un , b , c ), la cónica polar es el lugar geométrico de los puntos P de modo que Q está en la segunda polar de P . En otras palabras, la ecuación de la cónica polar es
La cónica es degenerada si y solo si el determinante de la hessiana de f ,
desaparece. Por tanto, la ecuación | H ( f ) | = 0 define una curva, el lugar geométrico de puntos cuyas cónicas polar son degenerados, de grado 3 ( n - 2 ) llamados la curva de Hesse de C .
Ver también
Referencias
- Basset, Alfred Barnard (1901). Un tratado elemental sobre curvas cúbicas y cuarticas . Deighton Bell & Co. págs. 16 y siguientes.
- Salmón, George (1879). Curvas planas superiores . Hodges, Foster y Figgis. págs. 49ff.
- Sección 1.2 de Fulton, Introducción a la teoría de la intersección en geometría algebraica , CBMS, AMS, 1984.
- Ivanov, AB (2001) [1994], "Polar" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press
- Ivanov, AB (2001) [1994], "Hessian (curva algebraica)" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press