La exponenciación es una operación matemática , escrita como b n , que involucra dos números, la base b y el exponente o potencia n , y se pronuncia como " b elevado a la potencia n ". [1] [2] Cuando n es un número entero positivo , la exponenciación corresponde a la multiplicación repetida de la base: es decir, b n es el producto de multiplicar n bases: [2]
El exponente generalmente se muestra como un superíndice a la derecha de la base. En ese caso, b n se llama " b elevado a la n ésima potencia", " b elevado a la potencia de n ", [1] "la n ésima potencia de b ", " b a la n ésima potencia", [ 3] o más brevemente como " b a la n th".
Uno tiene b 1 = b , y, para cualquier entero positivo m y n , uno tiene b n ⋅ b m = b n + m . Para extender esta propiedad a exponentes enteros no positivos, b 0 se define como 1 , y b - n (con n un entero positivo yb distinto de cero) se define como1/b n. En particular, b −1 es igual a1/B, el recíproco de b .
La definición de exponenciación se puede ampliar para permitir cualquier exponente real o complejo . La exponenciación por exponentes enteros también se puede definir para una amplia variedad de estructuras algebraicas, incluidas las matrices .
La exponenciación se usa ampliamente en muchos campos, incluidos la economía , la biología , la química , la física y la informática , con aplicaciones como el interés compuesto , el crecimiento de la población , la cinética de reacciones químicas , el comportamiento de las ondas y la criptografía de clave pública .
Historia de la notación
El término poder ( latín : potentia, potestas, dignitas ) es una mala traducción [4] [5] del griego antiguo δύναμις ( dúnamis , aquí: "amplificación" [4] ) usado por el matemático griego Euclides para el cuadrado de una línea , [6] siguiendo a Hipócrates de Quíos . [7] Arquímedes descubrió y demostró la ley de los exponentes, 10 a ⋅ 10 b = 10 a + b , necesaria para manipular las potencias de 10 . [8] [Se necesita una mejor fuente ] En el siglo IX, el matemático persa Muhammad ibn Mūsā al-Khwārizmī usó los términos مَال ( māl , "posesiones", "propiedad") para un cuadrado: los musulmanes, "como la mayoría de los matemáticos de esos y en épocas anteriores, pensó en un número cuadrado como una representación de un área, especialmente de tierra, por lo tanto propiedad " [9] - y كَعْبَة ( kaʿbah ," cubo ") para un cubo , que los matemáticos islámicos posteriores representaron en notación matemática como el letras mīm (m) y kāf (k), respectivamente, en el siglo XV, como se ve en la obra de Abū al-Hasan ibn Alī al-Qalasādī . [10]
A finales del siglo XVI, Jost Bürgi utilizó números romanos como exponentes. [11]
Nicolas Chuquet utilizó una forma de notación exponencial en el siglo XV, que luego fue utilizada por Henricus Grammateus y Michael Stifel en el siglo XVI. La palabra exponente fue acuñada en 1544 por Michael Stifel. [12] [13] Samuel Jeake introdujo el término índices en 1696. [6] En el siglo XVI, Robert Recorde usó los términos cuadrado, cubo, zenzizenzic ( cuarta potencia ), sursólido (quinto), zenzicube (sexto), segundo sursólido (séptimo) y zenzizenzizenzic (octavo). [9] Biquadrate también se ha utilizado para referirse a la cuarta potencia.
A principios del siglo XVII, René Descartes introdujo la primera forma de nuestra notación exponencial moderna en su texto titulado La Géométrie ; allí, la notación se introduce en el Libro I. [14]
Algunos matemáticos (como Isaac Newton ) usaban exponentes solo para potencias mayores que dos, prefiriendo representar cuadrados como multiplicaciones repetidas. Por lo tanto, escribirían polinomios , por ejemplo, como ax + bxx + cx 3 + d .
Otro sinónimo histórico, involución , es ahora raro [15] y no debe confundirse con su significado más común .
En 1748, Leonhard Euler escribió:
“Considere exponenciales o potencias en las que el propio exponente es una variable. Está claro que cantidades de este tipo no son funciones algebraicas , ya que en ellas los exponentes deben ser constantes”. [dieciséis]
Con esta introducción de funciones trascendentales , Euler sentó las bases para la introducción moderna del logaritmo natural, como la función inversa de la función exponencial natural , f ( x ) = e x .
Terminología
La expresión b 2 = b ⋅ b se llama "el cuadrado de b " o " b al cuadrado", porque el área de un cuadrado de lado b es b 2 .
De manera similar, la expresión b 3 = b ⋅ b ⋅ b se llama "el cubo de b " o " b al cubo", porque el volumen de un cubo con una longitud de lado b es b 3 .
Cuando es un número entero positivo , el exponente indica cuántas copias de la base se multiplican juntas. Por ejemplo, 3 5 = 3 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 3 = 243 . La base 3 aparece 5 veces en la multiplicación, porque el exponente es 5 . Aquí, 243 es la quinta potencia de 3 , o 3 elevado a la quinta potencia .
Por lo general, se omite la palabra "elevado" y, a veces, también "potencia", por lo que 3 5 puede leerse simplemente "3 al 5" o "3 al 5". Por lo tanto, la exponenciación b n puede expresarse como " b elevado a n ", " b elevado a n ", " b elevado a n ", o más brevemente como " b elevado a n ".
Una fórmula con exponenciación anidada, como 3 5 7 (que significa 3 (5 7 ) y no (3 5 ) 7 ), se llama torre de poderes , o simplemente torre .
Exponentes enteros
La operación de exponenciación con exponentes enteros se puede definir directamente a partir de operaciones aritméticas elementales .
Exponentes positivos
Las potencias con exponentes enteros positivos pueden definirse mediante el caso base [17]
y la relación de recurrencia
La asociatividad de la multiplicación implica que para cualquier enteros positivos m y n ,
Exponente cero
Cualquier número distinto de cero elevado a la potencia 0 es 1 : [18] [2]
Una interpretación de tal poder es como un producto vacío .
El caso de 0 0 es más complicado, y la elección de asignarle un valor y qué valor asignar puede depender del contexto.
Exponentes negativos
La siguiente identidad es válida para cualquier número entero n distinto de cero b :
- [2]
Elevar 0 a un exponente negativo no está definido, pero en algunas circunstancias, puede interpretarse como infinito ( ∞ ).
La identidad anterior se puede derivar a través de una definición destinada a extender el rango de exponentes a números enteros negativos.
Para by distinto de cero y n positivo , la relación de recurrencia anterior se puede reescribir como
Al definir esta relación como válida para todo entero n y distinto de cero b , se deduce que
y más generalmente para cualquier by distinto de cero y cualquier entero no negativo n ,
Entonces se demuestra fácilmente que esto es cierto para cada número entero n .
Identidades y propiedades
Las siguientes identidades son válidas para todos los exponentes enteros, siempre que la base no sea cero: [2]
A diferencia de la suma y la multiplicación:
- La exponenciación no es conmutativa . Por ejemplo, 2 3 = 8 ≠ 3 2 = 9 .
- La exponenciación no es asociativa . Por ejemplo, (2 3 ) 4 = 8 4 = 4096 , mientras que 2 (3 4 ) = 2 81 =2 417 851 639 229 258 349 412 352 . Sin paréntesis, el orden convencional de operaciones para la exponenciación serial en notación de superíndice es de arriba hacia abajo (oasociativo de derecha ), no de abajo hacia arriba [19] [20] [21] [22] (oasociativo de izquierda ). Es decir,
que, en general, es diferente de
Poderes de una suma
Las potencias de una suma normalmente se pueden calcular a partir de las potencias de los sumandos mediante la fórmula binomial
Sin embargo, esta fórmula es verdadera solo si los sumandos conmutan (es decir, que ab = ba ), lo cual está implícito si pertenecen a una estructura que es conmutativa . De lo contrario, si una y b son, por ejemplo, matrices cuadradas del mismo tamaño, esta fórmula no se pueden utilizar. De ello se deduce que en álgebra computacional , muchos algoritmos que involucran exponentes enteros deben cambiarse cuando las bases de exponenciación no conmutan. Algunos sistemas de álgebra computarizada de propósito general usan una notación diferente (a veces ^^ en lugar de ^ ) para la exponenciación con bases no conmutativas , que luego se denomina exponenciación no conmutativa .
Interpretación combinatoria
Para enteros no negativos n y m , el valor de n m es el número de funciones de un conjunto de m elementos de un conjunto de n elementos (ver exponenciación cardinal ). Estas funciones pueden representarse como m - tuplas de un conjunto de n elementos (o como palabras con m letras de un alfabeto de n letras). Algunos ejemplos para valores particulares de m y n se dan en la siguiente tabla:
n m Los n m posibles m -tuplas de elementos del conjunto {1, ..., n } 0 5 = 0 ninguno 1 4 = 1 (1,1,1,1) 2 3 = 8 (1,1,1), (1,1,2), (1,2,1), (1,2,2), (2,1,1), (2,1,2), (2 , 2,1), (2,2,2) 3 2 = 9 (1,1), (1,2), (1,3), (2,1), (2,2), (2,3), (3,1), (3,2), (3 , 3) 4 1 = 4 (1), (2), (3), (4) 5 0 = 1 ()
Bases particulares
Potencias de diez
En el sistema numérico de base diez ( decimal ), las potencias enteras de 10 se escriben como el dígito 1 seguido o precedido por un número de ceros determinado por el signo y la magnitud del exponente. Por ejemplo,10 3 =1000 y10 −4 =0,0001 .
La exponenciación con base 10 se usa en notación científica para denotar números grandes o pequeños. Por ejemplo,299 792 458 m / s (la velocidad de la luz en el vacío, en metros por segundo ) se puede escribir como2.997 924 58 × 10 8 m / sy luego aproximado como2.998 × 10 8 m / s .
Los prefijos SI basados en potencias de 10 también se utilizan para describir cantidades pequeñas o grandes. Por ejemplo, el prefijo kilo significa10 3 =1000 , por lo que un kilómetro es1000 m .
Potencias de tres
Potencias de dos
Las primeras potencias negativas de 2 se usan comúnmente y tienen nombres especiales, por ejemplo: mitad y cuarto .
Las potencias de 2 aparecen en la teoría de conjuntos , ya que un conjunto con n miembros tiene un conjunto de potencias , el conjunto de todos sus subconjuntos , que tiene 2 n miembros.
Las potencias enteras de 2 son importantes en informática . Las potencias enteras positivas 2 n dan el número de valores posibles para un n - bit número entero número binario ; por ejemplo, un byte puede tomar 2 8 = 256 valores diferentes. El sistema numérico binario expresa cualquier número como una suma de potencias de 2 , y lo denota como una secuencia de 0 y 1 , separados por un punto binario , donde 1 indica una potencia de 2 que aparece en la suma; el exponente está determinado por el lugar de este 1 : los exponentes no negativos son el rango del 1 a la izquierda del punto (comenzando desde 0 ), y los exponentes negativos están determinados por el rango a la derecha del punto.
Poderes de uno
Los poderes de uno son todos uno: 1 n = 1 .
Potencias de cero
Si el exponente n es positivo ( n > 0 ), la n- ésima potencia de cero es cero: 0 n = 0 .
Si el exponente n es negativo ( n <0 ), la n- ésima potencia de cero 0 n no está definida, porque debe ser igual acon - n > 0 , y esto sería de acuerdo con lo anterior.
La expresión 0 0 se define como 1 o se deja indefinida ( consulte Cero elevado a cero ).
Poderes de uno negativo
Si n es un número entero par, entonces (−1) n = 1 .
Si n es un número entero impar, entonces (−1) n = −1 .
Debido a esto, las potencias de -1 son útiles para expresar secuencias alternas . Para un análisis similar de las potencias del número complejo i , consulte § Potencias de números complejos .
Grandes exponentes
El límite de una secuencia de potencias de un número mayor que uno diverge; en otras palabras, la secuencia crece sin límite:
- b n → ∞ como n → ∞ cuando b > 1
Esto se puede leer como " b elevado a n tiende a + ∞ ya que n tiende a infinito cuando b es mayor que uno".
Las potencias de un número con valor absoluto menor que uno tienden a cero:
- b n → 0 cuando n → ∞ cuando | b | <1
Cualquier poder de uno es siempre uno:
- b n = 1 para todo n si b = 1
Las potencias de –1 alternan entre 1 y –1 cuando n alterna entre pares e impares y, por lo tanto, no tienden a ningún límite a medida que n crece.
Si b <–1 , b n , alterna entre números positivos y negativos mayores y mayores, ya que n alterna entre pares e impares y, por lo tanto, no tiende a ningún límite a medida que n crece.
Si el número exponencial varía mientras tiende a 1 ya que el exponente tiende a infinito, entonces el límite no es necesariamente uno de los anteriores. Un caso particularmente importante es
- (1 + 1 / n ) n → e cuando n → ∞
Ver § La función exponencial a continuación.
Otros límites, en particular los de las expresiones que adoptan una forma indeterminada , se describen en § Límites de poderes más adelante.
Funciones de potencia
Funciones reales de la forma , dónde , a veces se denominan funciones de potencia. [ cita requerida ] Cuandoes un número entero y, existen dos familias principales: para incluso, y para impar. En general para, Cuándo incluso tenderá hacia el infinito positivo con el aumento, y también hacia el infinito positivo con decreciente . Todos los gráficos de la familia de funciones de potencia pares tienen la forma general de, aplanándose más en el medio a medida que aumenta. [23] Funciones con este tipo de simetría () se denominan funciones pares .
Cuándo es impar, El comportamiento asintótico se revierte de positivo a negativo . Para, también tenderá hacia el infinito positivo con el aumento, pero hacia el infinito negativo con decreciente . Todos los gráficos de la familia de funciones de potencia impares tienen la forma general de, aplanándose más en el medio a medida que aumenta y pierde toda la planitud allí en línea recta durante . Funciones con este tipo de simetría () se denominan funciones impares .
Para , el comportamiento asintótico opuesto es cierto en cada caso. [23]
Lista de potencias de números enteros
norte | n 2 | n 3 | n 4 | n 5 | n 6 | n 7 | n 8 | n 9 | n 10 |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
2 | 4 | 8 | dieciséis | 32 | 64 | 128 | 256 | 512 | 1024 |
3 | 9 | 27 | 81 | 243 | 729 | 2187 | 6561 | 19 683 | 59 049 |
4 | dieciséis | 64 | 256 | 1024 | 4096 | 16 384 | 65 536 | 262 144 | 1 048 576 |
5 | 25 | 125 | 625 | 3125 | 15 625 | 78 125 | 390 625 | 1 953 125 | 9 765 625 |
6 | 36 | 216 | 1296 | 7776 | 46 656 | 279 936 | 1 679 616 | 10 077 696 | 60 466 176 |
7 | 49 | 343 | 2401 | 16 807 | 117 649 | 823 543 | 5 764 801 | 40 353 607 | 282 475 249 |
8 | 64 | 512 | 4096 | 32 768 | 262 144 | 2 097 152 | 16 777 216 | 134 217 728 | 1 073 741 824 |
9 | 81 | 729 | 6561 | 59 049 | 531 441 | 4 782 969 | 43 046 721 | 387 420 489 | 3 486 784 401 |
10 | 100 | 1000 | 10 000 | 100 000 | 1 000 000 | 10 000 000 | 100 000 000 | 1 000 000 000 | 10 000 000 000 |
Exponentes racionales
Una raíz n -ésima de un número b es un número x tal que x n = b .
Si b es un número real positivo yn es un entero positivo, entonces hay exactamente una solución real positiva ax n = b . Esta solución se llama raíz n- ésima principal de b . Se denota n √ b , donde √ es el símbolo radical ; alternativamente, la raíz n- ésima principal de b puede escribirse b 1 / n . Por ejemplo: 9 1/2 = √ 9 = 3 y 8 1/3 = 3 √ 8 = 2 .
El hecho de que resuelve se desprende de señalar que
Si b es igual a 0, la ecuación x n = b tiene una solución, que es x = 0 .
Si n es par y b es positivo, entonces x n = b tiene dos soluciones reales, que son las raíces n- ésimas positivas y negativas de b , es decir, b 1 / n > 0 y - ( b 1 / n ) <0 .
Si n es par y b es negativo, la ecuación no tiene solución en números reales.
Si n es impar, entonces x n = b tiene exactamente una solución real, que es positiva si b es positivo ( b 1 / n > 0 ) y negativo si b es negativo ( b 1 / n <0 ).
Tomando un número real positivo b a un exponente racional u / v , donde u es un número entero yv es un número entero positivo, y considerando solo las raíces principales, se obtiene
Llevando un número real negativo b a una potencia racional u / v , donde u / v está en los términos más bajos, se obtiene un resultado real positivo si u es par y, por lo tanto, v es impar, porque entonces b u es positivo; y los rendimientos de un resultado real negativo, si u y v son ambos impares, porque entonces b u es negativo. El caso de v par (y, por tanto, u impar ) no puede tratarse de esta manera dentro de los reales, ya que no existe un número real x tal que x 2 k = −1 , el valor de b u / v en este caso debe usar la unidad imaginaria i , como se describe con más detalle en el apartado § Potencias de números complejos .
Por lo tanto, tenemos (−27) 1/3 = −3 y (−27) 2/3 = 9 . El número 4 tiene dos potencias 3/2, a saber, 8 y −8; sin embargo, por convención la notación 4 3/2 emplea la raíz director , y los resultados en 8. Para emplear el v raíz -ésimo la u / v poder -ésimo es también llamado el v / u root-ésimo, y para incluso v la El término raíz principal también denota el resultado positivo.
Esta ambigüedad de signo debe tenerse en cuenta al aplicar las identidades de poder. Por ejemplo:
está claramente equivocado. El problema comienza ya en la primera igualdad al introducir una notación estándar para una situación intrínsecamente ambigua –pidiendo una raíz par– y simplemente confiando erróneamente en una sola, la interpretación convencional o principal . El mismo problema ocurre también con una notación surd introducida de manera inapropiada, que impone inherentemente un resultado positivo:
en vez de
En general, ocurre el mismo tipo de problemas para números complejos que se describen en la sección § Fallo de potencia e identidades logarítmicas .
Exponentes reales
La exponenciación a potencias reales de números reales positivos puede definirse extendiendo las potencias racionales a reales por continuidad, o más habitualmente como se indica en § Potencias mediante logaritmos a continuación. El resultado es siempre un número real positivo, y las identidades y propiedades que se muestran arriba para exponentes enteros son verdaderas para bases reales positivas con exponentes no enteros también.
Por otro lado, la exponenciación a una potencia real de un número real negativo es mucho más difícil de definir de forma coherente, ya que puede ser no real y tener varios valores (ver § Exponentes reales con bases negativas ). Uno puede elegir uno de estos valores, llamado valor principal , pero no hay elección del valor principal para el cual una identidad como
es verdad; ver § Fallo de poder e identidades logarítmicas . Por lo tanto, la exponenciación con una base que no es un número real positivo generalmente se considera una función de varios valores .
Límites de exponentes racionales
Dado que cualquier número irracional puede expresarse como el límite de una secuencia de números racionales, la exponenciación de un número real positivo b con un exponente real arbitrario x puede definirse mediante la continuidad con la regla [24]
donde el límite cuando r se acerca ax se toma solo sobre valores racionales de r . Este límite solo existe para b positivo . Se utiliza la definición de límite ( ε , δ ) ; esto implica mostrar que para cualquier precisión deseada del resultado b x se puede elegir un intervalo suficientemente pequeño alrededor de x para que todas las potencias racionales en el intervalo estén dentro de la precisión deseada.
Por ejemplo, si x = π , la representación decimal no terminal π = 3,14159 ... se puede utilizar (basada en la estricta monotonicidad de la potencia racional) para obtener los intervalos acotados por potencias racionales
- , , , , , ,
Los intervalos acotados convergen en un número real único, denotado por . Esta técnica se puede utilizar para obtener la potencia de un número real positivo b para cualquier exponente irracional. Por tanto, la función f b ( x ) = b x se define para cualquier número real x .
La función exponencial
La importante constante matemática e , a veces llamada número de Euler , es aproximadamente igual a 2.718 y es la base del logaritmo natural . Aunque la exponenciación de e podría, en principio, tratarse de la misma manera que la exponenciación de cualquier otro número real, tales exponenciales resultan tener propiedades particularmente elegantes y útiles. Entre otras cosas, estas propiedades permiten que las exponenciales de e se generalicen de forma natural a otros tipos de exponentes, como números complejos o incluso matrices, coincidiendo con el conocido significado de exponenciación con exponentes racionales.
Como consecuencia, la notación e x generalmente denota una definición de exponenciación generalizada llamada función exponencial , exp ( x ), que se puede definir de muchas formas equivalentes , por ejemplo, por
Entre otras propiedades, exp satisface la identidad exponencial
La función exponencial se define para todos los valores enteros, fraccionarios, reales y complejos de x . De hecho, el exponencial matriz está bien definido para matrices cuadradas (en cuyo caso esta identidad exponencial sólo se mantiene cuando x y y conmute) y es útil para sistemas de resolución de ecuaciones diferenciales lineales .
Dado que exp (1) es igual a e , y exp ( x ) satisface esta identidad exponencial, se sigue inmediatamente que exp ( x ) coincide con la definición de multiplicación repetida de e x para el entero x , y también se deduce que las potencias racionales denotan raíces (positivas) como de costumbre, por lo que exp ( x ) coincide con las definiciones de e x en la sección anterior para todo x real por continuidad.
Potencias a través de logaritmos
Cuando e x se define como la función exponencial, b x se puede definir, para otros números reales positivos b , en términos de e x . Específicamente, el logaritmo natural ln ( x ) es el inverso de la función exponencial e x . Se define para b > 0 y satisface
Si b x va a preservar las reglas de los logaritmos y exponentes, entonces uno debe tener
para cada número real x .
Esto se puede usar como una definición alternativa de la potencia del número real b x y concuerda con la definición dada anteriormente usando exponentes racionales y continuidad. La definición de exponenciación mediante logaritmos es más común en el contexto de números complejos, como se analiza a continuación.
Exponentes reales con bases negativas
Las potencias de un número real positivo son siempre números reales positivos. Sin embargo, la solución de x 2 = 4 puede ser 2 o −2. El valor principal de 4 1/2 es 2, pero −2 también es una raíz cuadrada válida. Si la definición de exponenciación de números reales se amplía para permitir resultados negativos, entonces el resultado ya no se comporta bien.
Ni el método del logaritmo ni el método del exponente racional se pueden utilizar para definir b r como un número real para un número real negativo b y un número real arbitrario r . De hecho, e r es positivo para todo número real r , por lo que ln ( b ) no se define como un número real para b ≤ 0 .
El método del exponente racional no se puede utilizar para valores negativos de b porque se basa en la continuidad . La función f ( r ) = b r tiene una extensión continua única [24] de los números racionales a los números reales para cada b > 0 . Pero cuando b <0 , la función f ni siquiera es continua en el conjunto de números racionales r para los que está definida.
Por ejemplo, considere b = −1 . La raíz n -ésima de −1 es −1 para cada número natural impar n . Entonces, si n es un número entero positivo impar, (−1) ( m / n ) = −1 si m es impar, y (−1) ( m / n ) = 1 si m es par. Así, el conjunto de números racionales q para el cual (−1) q = 1 es denso en los números racionales, como lo es el conjunto de q para el cual (−1) q = −1 . Esto significa que la función (−1) q no es continua en ningún número racional q donde está definida.
Por otro lado, las potencias complejas arbitrarias de números negativos b se pueden definir eligiendo un logaritmo complejo de b .
Exponentes irracionales
Si b es un número algebraico real positivo y x es un número racional, se ha demostrado anteriormente que b x es un número algebraico. Esto sigue siendo cierto incluso si se acepta cualquier número algebraico para b , con la única diferencia de que b x puede tomar varios valores (un número finito, ver más abajo), que son todos algebraicos. El teorema de Gelfond-Schneider proporciona cierta información sobre la naturaleza de b x cuando x es irracional (es decir, no racional ). Afirma:
Si b es un número algebraico diferente de 0 y 1, yx un número algebraico irracional, entonces todos los valores de b x (hay infinitos) son trascendentales (es decir, no algebraicos).
Exponentes complejos con base real positiva
Si b es un número real positivo yz es cualquier número complejo , la potencia b z está definida por
donde x = ln ( b ) es la única solución real de la ecuación e x = b , y la potencia compleja de e está definida por la función exponencial , que es la función única de una variable compleja que es igual a su derivada y toma el valor 1 para x = 0 .
Como, en general, b z no es un número real, una expresión como ( b z ) w no está definida por la definición anterior. Debe interpretarse mediante las reglas para potencias de números complejos y, a menos que z sea real o w sea un número entero, generalmente no es igual a b zw , como cabría esperar.
Existen varias definiciones de la función exponencial, pero se extienden de manera compatible a números complejos y satisfacen la propiedad exponencial. Para cualquier número complejo z y w , los satisface función exponencial. En particular, para cualquier número complejo
El segundo término tiene un valor dado por la fórmula de Euler
Esta fórmula vincula problemas de trigonometría y álgebra.
Por lo tanto, para cualquier número complejo
Debido a la identidad trigonométrica pitagórica , el valor absoluto dees 1 . Por tanto, el factor real es el valor absoluto de y la parte imaginaria del exponente identifica el argumento (ángulo) del número complejo.
Definición de serie
La función exponencial es igual a su derivada y satisface su serie de Taylor debe ser
Esta serie infinita , que a menudo se toma como la definición de la función exponencial e z para exponentes complejos arbitrarios, es absolutamente convergente para todos los números complejos z.
Cuando z es puramente imaginario , es decir, z = iy para un número real y , la serie anterior se convierte en
que (porque converge absolutamente) puede reordenarse para
Las partes real e imaginaria de esta expresión son expansiones de Taylor de coseno y seno respectivamente, centradas en cero, lo que implica la fórmula de Euler:
Definición de límite
Otra caracterización de la función exponencial es como el límite de, cuando n se acerca al infinito. Por el pensamiento de la n ésima potencia en esta definición como multiplicación repetida en forma polar , que puede ser utilizado para ilustrar visualmente la fórmula de Euler. Cualquier número complejo se puede representar en forma polar como, donde r es el valor absoluto y θ es su argumento. El producto de dos números complejos y es .
Considere el triángulo rectángulo en el plano complejo que tiene, , y como vértices. Para valores grandes de n , el triángulo es casi un sector circular con un radio de 1 y un pequeño ángulo central igual a radianes . 1 + entonces puede ser aproximado por el número con forma polar . Entonces, en el límite cuando n se acerca al infinito, enfoques , el punto en el círculo unitario cuyo ángulo desde el eje real positivo es x radianes. Las coordenadas cartesianas de este punto son, entonces ; esta es nuevamente la fórmula de Euler, que permite las mismas conexiones a las funciones trigonométricas que se elaboraron con la definición de la serie.
Periodicidad
Las soluciones de la ecuación son los múltiplos enteros de :
Por tanto, si es un número complejo tal que , luego cada que tambien satisface se puede obtener de , es decir, agregando un múltiplo entero arbitrario de a :
Es decir, la función exponencial compleja para cualquier entero k es una función periódica con período.
Ejemplos de
Potencias de números complejos
Las potencias enteras de números complejos distintos de cero se definen mediante multiplicaciones o divisiones repetidas como se indicó anteriormente. Si i es la unidad imaginaria y n es un entero, entonces i n es igual a 1, i , -1, o - i , en función de si el número entero n es congruente con 0, 1, 2, o 3 de módulo 4. Debido a esto , las potencias de i son útiles para expresar secuencias del período 4 .
Las potencias complejas de reales positivos se definen mediante e x como en la sección Exponentes complejos con bases reales positivas anterior. Estas son funciones continuas.
Intentar extender estas funciones al caso general de potencias no enteras de números complejos que no son reales positivos conduce a dificultades. O definimos funciones discontinuas o funciones multivalor . Ninguna de estas opciones es del todo satisfactoria.
La potencia racional de un número complejo debe ser la solución de una ecuación algebraica. Por tanto, siempre tiene un número finito de valores posibles. Por ejemplo, w = z 1/2 debe ser una solución a la ecuación w 2 = z . Pero si w es una solución, entonces también lo es - w , porque (−1) 2 = 1 . Se puede elegir una solución única pero algo arbitraria llamada valor principal usando una regla general que también se aplica a los poderes no racionales.
Las potencias y logaritmos complejos se manejan de forma más natural como funciones de un solo valor en una superficie de Riemann . Las versiones de un solo valor se definen eligiendo una hoja. El valor tiene una discontinuidad a lo largo de un corte de rama . Elegir una entre muchas soluciones como valor principal nos deja con funciones que no son continuas, y las reglas habituales para manipular poderes pueden llevarnos por mal camino.
Cualquier potencia no racional de un número complejo tiene un número infinito de valores posibles debido a la naturaleza de múltiples valores del logaritmo complejo . El valor principal es un valor único elegido entre estos por una regla que, entre sus otras propiedades, asegura que las potencias de números complejos con una parte real positiva y una parte imaginaria cero dan el mismo valor que la regla definida anteriormente para la base real correspondiente.
Exponenciar un número real a una potencia compleja es formalmente una operación diferente a la del número complejo correspondiente. Sin embargo, en el caso común de un número real positivo, el valor principal es el mismo.
Las potencias de los números reales negativos no siempre están definidas y son discontinuas incluso cuando están definidas. De hecho, solo se definen cuando el exponente es un número racional y el denominador es un número entero impar. Cuando se trata de números complejos, normalmente se utiliza la operación de números complejos.
Exponentes complejos con bases complejas
Para los números complejos w y z con w ≠ 0 , la notación w z es ambigua en el mismo sentido que log w es.
Para obtener un valor de w z , primero elija un logaritmo de w ; llámalo log w . Tal elección puede ser el valor principal Log w (el valor predeterminado, si no se da otra especificación), o quizás un valor dado por alguna otra rama de log w fijada de antemano. Luego, usando la función exponencial compleja, uno define
porque esto concuerda con la definición anterior en el caso en que w es un número real positivo y se usa el valor principal (real) de log w .
Si z es un número entero , entonces el valor de w z es independiente de la elección de log w , y concuerda con la definición anterior de exponenciación con un exponente entero .
Si z es un número racional m / n en términos más bajos con n > 0 , entonces las infinitas opciones contables de log w producen sólo n valores diferentes para w z ; estos valores son las n soluciones complejas s de la ecuación s n = w m .
Si z es un número irracional , entonces las infinitas opciones contables de log w conducen a un número infinito de valores distintos para w z .
El cálculo de potencias complejas se facilita al convertir la base w en forma polar , como se describe en detalle a continuación .
En los cuaterniones se emplea una construcción similar .
Raíces complejas de unidad
Un número complejo w tal que w n = 1 para un entero positivo n es una raíz n -ésima de la unidad . Geométricamente, las raíces n -ésimas de la unidad se encuentran en el círculo unitario del plano complejo en los vértices de un n -gon regular con un vértice en el número real 1.
Si w n = 1 pero w k ≠ 1 para todos los números naturales k tales que 0 < k < n , entonces w se llama una raíz n- ésima primitiva de la unidad . La unidad negativa −1 es la única raíz cuadrada primitiva de la unidad. La unidad imaginaria i es una de las dos cuartas raíces primitivas de la unidad; el otro es - i .
El numero e2 πi/nortees la raíz n- ésima primitiva de la unidad con el menor argumento positivo . (A veces se le llama la raíz principal n -ésima de la unidad , aunque esta terminología no es universal y no debe confundirse con el valor principal de n √ 1 , que es 1. [25] [26] [27] )
El n th raíces de la unidad pueden entonces, naturalmente, ser expresados como
para 1 ≤ k ≤ n .
Raíces de números complejos arbitrarios
Aunque hay infinitos valores posibles para un logaritmo complejo general, solo hay un número finito de valores para la potencia w q en el caso especial importante donde q = 1 / n y n es un número entero positivo. Estas son las raíces n -ésimas de w ; son soluciones de la ecuación z n = w . Al igual que con las raíces reales, una segunda raíz también se llama raíz cuadrada y una tercera raíz también se llama raíz cúbica.
Es habitual en matemáticas definir w 1 / n como el valor principal de la raíz, que es, convencionalmente, la raíz n -ésima cuyo argumento tiene el valor absoluto más pequeño . Cuando w es un número real positivo, esto es coherente con la convención habitual de definir w 1 / n como la única raíz n- ésima real positiva . Por otro lado, cuando w es un número real negativo, y n es un entero impar, el verdadero única n º raíz no es uno de los dos n th raíces cuyo argumento tiene el valor absoluto más pequeño. En este caso, el significado de w 1 / n puede depender del contexto y puede ser necesario tener cuidado para evitar errores.
El conjunto de raíces n de un número complejo w se obtiene multiplicando el valor principal w 1 / n por cada una de las raíces n ésimas de la unidad. Por ejemplo, las cuartas raíces de 16 son 2, −2, 2 i y −2 i , porque el valor principal de la cuarta raíz de 16 es 2 y las cuartas raíces de la unidad son 1, −1, i y - yo .
Computación de poderes complejos
A menudo es más fácil calcular potencias complejas escribiendo el número a exponenciar en forma polar . Todo número complejo z se puede escribir en forma polar
donde r es un número real no negativo y θ es el argumento (real) de z . La forma polar tiene una interpretación geométrica simple: si se piensa que un número complejo u + iv representa un punto ( u , v ) en el plano complejo usando coordenadas cartesianas , entonces ( r , θ ) es el mismo punto en coordenadas polares . Es decir, r es el "radio" r 2 = u 2 + v 2 y θ es el "ángulo" θ = atan2 ( v , u ) . El ángulo polar θ es ambiguo ya que cualquier múltiplo entero de 2π podría sumarse a θ sin cambiar la ubicación del punto. Cada elección de θ da, en general, un valor posible diferente de la potencia. Se puede utilizar un corte de rama para elegir un valor específico. El valor principal (el corte de rama más común), corresponde a θ elegido en el intervalo (−π, π] . Para números complejos con una parte real positiva y una parte imaginaria cero, usar el valor principal da el mismo resultado que usar el valor real correspondiente. número.
Para calcular la potencia compleja w z , escriba w en forma polar:
Luego
y por lo tanto
Si z se descompone como c + di , entonces la fórmula para w z se puede escribir más explícitamente como
Esta fórmula final permite calcular fácilmente potencias complejas a partir de descomposiciones de la base en forma polar y del exponente en forma cartesiana. Se muestra aquí tanto en forma polar como en forma cartesiana (a través de la identidad de Euler).
Los siguientes ejemplos usan el valor principal, el corte de rama que hace que θ esté en el intervalo (−π, π] . Para calcular i i , escriba i en formas polares y cartesianas:
Entonces la fórmula anterior, con r = 1 , θ = π/2, c = 0 , yd = 1 , produce
De manera similar, para encontrar (−2) 3 + 4 i , calcule la forma polar de −2:
y use la fórmula anterior para calcular
El valor de una potencia compleja depende de la rama utilizada. Por ejemplo, si se usa la forma polar i = 1 e 5 πi / 2 para calcular i i , se encuentra que la potencia es e −5 π / 2 ; el valor principal de i i , calculado anteriormente, es e −π / 2 . El conjunto de todos los valores posibles para i i viene dado por [28]
Entonces hay una infinidad de valores que son posibles candidatos para el valor de i i , uno para cada entero k . Todos ellos tienen una parte imaginaria cero, por lo que se puede decir que i i tiene una infinidad de valores reales válidos.
Falla de identidades de poder y logaritmos
Algunas identidades para potencias y logaritmos para números reales positivos fallarán para números complejos, sin importar cuán complejas potencias y logaritmos complejos se definan como funciones de un solo valor . Por ejemplo:
- El registro de identidad ( b x ) = x ⋅ log b se cumple siempre que b es un número real positivo y x es un número real. Pero para la rama principal del logaritmo complejo se tiene
Independientemente de la rama del logaritmo que se utilice, existirá una falla similar de la identidad. Lo mejor que se puede decir (si solo se usa este resultado) es que:
Esta identidad no es válida incluso cuando se considera que el registro es una función de varios valores. Los posibles valores de log ( w z ) contienen los de z ⋅ log w como subconjunto. Uso de Log ( w ) para el valor principal de log ( w ) y m , n como cualesquiera números enteros los valores posibles de ambos lados son:
- Las identidades ( bc ) x = b x c x y ( b / c ) x = b x / c x son válidas cuando b y c son números reales positivos y x es un número real. Pero un cálculo utilizando ramas principales muestra que
y
Por otro lado, cuando x es un número entero, las identidades son válidas para todos los números complejos distintos de cero.
Si la exponenciación se considera una función de varios valores, entonces los valores posibles de (−1 ⋅ −1) 1/2 son {1, −1 }. La identidad es válida, pero decir {1} = {(−1 ⋅ −1) 1/2 } es incorrecto. - La identidad ( e x ) y = e xy se mantiene para los números reales x e y , pero asumiendo su verdad para los números complejos lleva a la siguiente paradoja , descubierta en 1827 por Clausen : [29] Para cualquier número entero n , tenemos:
- (tomando el -ésimo poder de ambos lados)
- (utilizando y expandiendo el exponente)
- (utilizando )
- (dividiendo por e )
Generalizaciones
Monoides
La exponenciación con exponentes enteros se puede definir en cualquier monoide multiplicativo . [30] Un monoide es una estructura algebraica que consta de un conjunto X junto con una regla de composición ("multiplicación") que satisface una ley asociativa y una identidad multiplicativa , denotada por 1. La exponenciación se define inductivamente por
- para todos ,
- para todos y enteros no negativos n ,
- Si n es un número entero negativo, entoncessolo se define [31] sitiene una inversa en X .
Los monoides incluyen muchas estructuras de importancia en matemáticas, incluidos grupos y anillos (en multiplicación), siendo ejemplos más específicos de estos últimos anillos y campos de matriz .
Matrices y operadores lineales
Si A es una matriz cuadrada, entonces el producto de A consigo mismo n veces se llama potencia de la matriz . Tambiénse define como la matriz identidad, [32] y si A es invertible, entonces.
Los poderes de la matriz aparecen a menudo en el contexto de sistemas dinámicos discretos , donde la matriz A expresa una transición desde un vector de estado x de algún sistema al siguiente estado Ax del sistema. [33] Esta es la interpretación estándar de una cadena de Markov , por ejemplo. Luego es el estado del sistema después de dos pasos de tiempo, y así sucesivamente: es el estado del sistema después de n pasos de tiempo. El poder de la matrizes la matriz de transición entre el estado actual y el estado en un momento n pasos en el futuro. Entonces, calcular las potencias matriciales equivale a resolver la evolución del sistema dinámico. En muchos casos, las potencias de la matriz se pueden calcular convenientemente utilizando valores propios y vectores propios .
Además de las matrices, los operadores lineales más generales también se pueden exponenciar. Un ejemplo es el operador derivado de cálculo,, que es un operador lineal que actúa sobre funciones para dar una nueva función . La n -ésima potencia del operador de diferenciación es la n -ésima derivada:
Estos ejemplos son para exponentes discretos de operadores lineales, pero en muchas circunstancias también es deseable definir potencias de dichos operadores con exponentes continuos. Este es el punto de partida de la teoría matemática de semigrupos . [34] Así como el cálculo de potencias matriciales con exponentes discretos resuelve sistemas dinámicos discretos, el cálculo de potencias matriciales con exponentes continuos resuelve sistemas con dinámica continua. Los ejemplos incluyen enfoques para resolver la ecuación de calor , la ecuación de Schrödinger , la ecuación de onda y otras ecuaciones diferenciales parciales que incluyen una evolución en el tiempo. El caso especial de exponenciar el operador de la derivada a una potencia no entera se llama derivada fraccionaria que, junto con la integral fraccionaria , es una de las operaciones básicas del cálculo fraccionario .
Campos finitos
Un campo es una estructura algebraica en la que la multiplicación, la suma, la resta y la división están bien definidas y satisfacen sus propiedades familiares. Los números reales, por ejemplo, forman un campo, al igual que los números complejos y los números racionales. A diferencia de estos ejemplos familiares de campos, que son todos conjuntos infinitos , algunos campos solo tienen un número finito de elementos. El ejemplo más simple es el campo con dos elementos. con la suma definida por y y multiplicación y .
La exponenciación en campos finitos tiene aplicaciones en la criptografía de clave pública . Por ejemplo, el intercambio de claves Diffie-Hellman utiliza el hecho de que la exponenciación es computacionalmente económica en campos finitos, mientras que el logaritmo discreto (el inverso de la exponenciación) es computacionalmente costoso.
Cualquier campo finito F tiene la propiedad de que existe un número primo único p tal quepara todo x en F ; es decir, x sumado a sí mismo p veces es cero. Por ejemplo, en, el número primo p = 2 tiene esta propiedad. Este número primo se llama característica del campo. Suponga que F es un campo de característica p , y considere la funciónque eleva cada elemento de F a la potencia p . Esto se llama el automorfismo de Frobenius de F . Es un automorfismo del campo debido a la identidad del sueño del estudiante de primer año.. El automorfismo de Frobenius es importante en la teoría de números porque genera el grupo F de Galois sobre su subcampo principal.
En álgebra abstracta
La exponenciación para exponentes enteros se puede definir para estructuras bastante generales en álgebra abstracta .
Sea X un conjunto con una operación binaria asociativa de potencia que se escribe multiplicativamente. Entonces x n se define para cualquier elemento x de X y cualquier número natural n distinto de cero como el producto de n copias de x , que se define recursivamente por
Uno tiene las siguientes propiedades
Si la operación tiene un elemento de identidad de dos caras 1, entonces x 0 se define como igual a 1 para cualquier x : [ cita requerida ]
Si la operación también tiene inversas de dos lados y es asociativa, entonces el magma es un grupo . La inversa de x se puede denotar por x −1 y sigue todas las reglas habituales para exponentes:
Si la operación de multiplicación es conmutativa (como, por ejemplo, en grupos abelianos ), entonces se cumple lo siguiente:
Si la operación binaria se escribe de forma aditiva, como suele ocurrir con los grupos abelianos , entonces "la exponenciación es una multiplicación repetida" se puede reinterpretar como "la multiplicación es una suma repetida ". Por lo tanto, cada una de las leyes de exponenciación anteriores tiene un análogo entre las leyes de la multiplicación.
Cuando hay varias operaciones binarias asociativas de potencia definidas en un conjunto, cualquiera de las cuales puede repetirse, es común indicar qué operación se repite colocando su símbolo en el superíndice. Por lo tanto, x ∗ n es x ∗ ... ∗ x , mientras que x # n es x # ... # x , cualesquiera que sean las operaciones ∗ y #.
La notación de superíndice también se usa, especialmente en la teoría de grupos , para indicar conjugación . Es decir, g h = h −1 gh , donde g y h son elementos de algún grupo . Aunque la conjugación obedece a algunas de las mismas leyes que la exponenciación, no es un ejemplo de multiplicación repetida en ningún sentido. Un quandle es una estructura algebraica en la que estas leyes de conjugación juegan un papel central.
Sobre conjuntos
Si n es un número natural, y A es un conjunto arbitrario, entonces la expresión A n a menudo se utiliza para denotar el conjunto de ordenado n -tuplas de elementos de A . Esto es equivalente a dejar que A n denote el conjunto de funciones del conjunto {0, 1, 2, ..., n - 1} al conjunto A ; el n tupla ( un 0 , un 1 , un 2 , ..., a n -1 ) representa la función que envía i para un i .
Para un infinito número cardinal κ y un conjunto A , la notación A κ también se utiliza para denotar el conjunto de todas las funciones de un conjunto de tamaño κ a A . Esto a veces se escribe κ A para distinguirlo de la exponenciación cardinal, definida a continuación.
Esta exponencial generalizada también se puede definir para operaciones en conjuntos o para conjuntos con estructura extra . Por ejemplo, en álgebra lineal , tiene sentido indexar sumas directas de espacios vectoriales sobre conjuntos de índices arbitrarios. Es decir, podemos hablar de
donde cada V i es un espacio vectorial.
Entonces, si V i = V para cada i , la suma directa resultante se puede escribir en notación exponencial como V ⊕ N , o simplemente V N con el entendimiento de que la suma directa es la predeterminada. Podemos reemplazar nuevamente el conjunto N con un número cardinal n para obtener V n , aunque sin elegir un conjunto estándar específico con cardinalidad n , este se define solo hasta el isomorfismo . Tomando V como el campo R de números reales (considerado como un espacio vectorial sobre sí mismo) y n como un número natural , obtenemos el espacio vectorial que se estudia más comúnmente en álgebra lineal, el espacio vectorial real R n .
Si la base de la operación de exponenciación es un conjunto, la operación de exponenciación es el producto cartesiano a menos que se indique lo contrario. Dado que varios productos cartesianos producen una n - tupla , que puede representarse mediante una función en un conjunto de cardinalidad apropiada, S N se convierte simplemente en el conjunto de todas las funciones de N a S en este caso:
Esto encaja con la exponenciación de los números cardinales , en el sentido de que | S N | = | S | | N | , donde | X | es la cardinalidad de X . Cuando "2" se define como {0, 1 }, tenemos | 2 X | = 2 | X | , donde 2 X , generalmente denotado por P ( X ), es el conjunto de potencias de X ; cada subconjunto Y de X corresponde de forma única a una función en X tomando el valor 1 para x ∈ Y y 0 para x ∉ Y .
En teoría de categorías
En una categoría cerrada cartesiana , la operación exponencial se puede utilizar para elevar un objeto arbitrario a la potencia de otro objeto. Esto generaliza el producto cartesiano en la categoría de conjuntos. Si 0 es un objeto inicial en una categoría cerrada cartesiana, entonces el objeto exponencial 0 0 es isomorfo a cualquier objeto terminal 1.
De números cardinales y ordinales
En la teoría de conjuntos , existen operaciones exponenciales para números cardinales y ordinales .
Si κ y λ son números cardinales, la expresión κ λ representa la cardinalidad del conjunto de funciones desde cualquier conjunto de cardinalidad λ a cualquier conjunto de cardinalidad κ . [35] Si κ y λ son finitos, entonces esto concuerda con la operación exponencial aritmética ordinaria. Por ejemplo, el conjunto de 3 tuplas de elementos de un conjunto de 2 elementos tiene cardinalidad 8 = 2 3 . En aritmética cardinal, κ 0 es siempre 1 (incluso si κ es un cardinal infinito o cero).
La exponenciación de los números cardinales es distinta de la exponenciación de los números ordinales, que se define mediante un proceso límite que implica la inducción transfinita .
Exponenciación repetida
Así como la exponenciación de números naturales está motivada por la multiplicación repetida, es posible definir una operación basada en la exponenciación repetida; esta operación a veces se llama hiper-4 o tetración . La iteración de la tetración conduce a otra operación, y así sucesivamente, un concepto llamado hiperoperación . Esta secuencia de operaciones se expresa mediante la función de Ackermann y la notación de flecha hacia arriba de Knuth . Así como la exponenciación crece más rápido que la multiplicación, que crece más rápido que la suma, la tetración crece más rápido que la exponenciación. Evaluadas en (3, 3) , las funciones suma, multiplicación, exponenciación y tetración producen 6, 9, 27 y7 625 597 484 987 ( = 3 27 = 3 3 3 = 3 3 ), respectivamente.
Límites de poderes
Cero elevado a cero proporciona una serie de ejemplos de límites que tienen la forma indeterminada 0 0 . Los límites en estos ejemplos existen, pero tienen valores diferentes, lo que muestra que la función de dos variables x y no tiene límite en el punto (0, 0) . Se puede considerar en qué puntos esta función tiene un límite.
Más precisamente, considere la función f ( x , y ) = x y definida en D = {( x , y ) ∈ R 2 : x > 0}. Entonces D puede verse como un subconjunto de R 2 (es decir, el conjunto de todos los pares ( x , y ) con x , y pertenecientes a la recta numérica real extendida R = [−∞, + ∞] , dotado con el producto topología ), que contendrá los puntos en los que la función f tiene un límite.
De hecho, f tiene un límite en todos los puntos de acumulación de D , excepto en (0, 0) , (+ ∞, 0) , (1, + ∞) y (1, −∞) . [36] En consecuencia, esto permite definir las potencias x y por continuidad siempre que 0 ≤ x ≤ + ∞ , −∞ ≤ y ≤ + ∞ , excepto para 0 0 , (+ ∞) 0 , 1 + ∞ y 1 −∞ , que siguen siendo formas indeterminadas.
Bajo esta definición por continuidad, obtenemos:
- x + ∞ = + ∞ y x −∞ = 0 , cuando 1 < x ≤ + ∞ .
- x + ∞ = 0 y x −∞ = + ∞ , cuando 0 ≤ x <1 .
- 0 y = 0 y (+ ∞) y = + ∞ , cuando 0 < y ≤ + ∞ .
- 0 y = + ∞ y (+ ∞) y = 0 , cuando −∞ ≤ y <0 .
Estas potencias se obtienen tomando límites de x y para valores positivos de x . Este método no permite una definición de x y cuando x <0 , ya que los pares ( x , Y ) con x <0 no son puntos de acumulación de D .
Por otro lado, cuando n es un número entero, la potencia x n ya es significativa para todos los valores de x , incluidos los negativos. Esto puede hacer que la definición 0 n = + ∞ obtenida anteriormente para n negativo sea problemática cuando n es impar, ya que en este caso x n → + ∞ ya que x tiende a 0 a través de valores positivos, pero no negativos.
Cálculo eficiente con exponentes enteros
Calcular b n usando la multiplicación iterada requiere n - 1 operaciones de multiplicación, pero se puede calcular de manera más eficiente que eso, como se ilustra en el siguiente ejemplo. Para calcular 2100 , tenga en cuenta que 100 = 64 + 32 + 4 . Calcule lo siguiente en orden:
2 2 = 4 |
(2 2 ) 2 = 2 4 = 16 |
(2 4 ) 2 = 2 8 = 256 |
(2 8 ) 2 = 2 16 =65 536 |
(2 16 ) 2 = 2 32 =4 294 967 296 |
(2 32 ) 2 = 2 64 =18 de 446 744 073 709 551 616 |
2 64 2 32 2 4 = 2100 =1 267 650 600 228 229 401 496 703 205 376 |
Esta serie de pasos solo requiere 8 operaciones de multiplicación (el último producto anterior requiere 2 multiplicaciones) en lugar de 99.
En general, el número de operaciones de multiplicación necesarias para calcular b n se puede reducir a Θ (log n ) mediante el uso de la exponenciación al elevar al cuadrado o (más generalmente) la exponenciación de la cadena de suma . Encontrar la secuencia mínima de multiplicaciones (la cadena de suma de longitud mínima para el exponente) para b n es un problema difícil, para el cual no se conocen actualmente algoritmos eficientes (ver Problema de suma de subconjuntos ), pero hay muchos algoritmos heurísticos razonablemente eficientes disponibles. [37]
Notación exponencial para nombres de funciones
Colocar un superíndice entero después del nombre o símbolo de una función, como si la función se elevara a una potencia, comúnmente se refiere a una composición de función repetida en lugar de una multiplicación repetida. [38] [39] [40] Por lo tanto, f 3 ( x ) puede significar f ( f ( f ( x ))) ; [41] en particular, f −1 ( x ) usualmente denota la función inversa de f . Esta notación fue introducida por Hans Heinrich Bürmann [ cita requerida ] [39] [40] y John Frederick William Herschel . [38] [39] [40] Las funciones iteradas son de interés en el estudio de fractales y sistemas dinámicos . Babbage fue el primero en estudiar el problema de encontrar una raíz cuadrada funcional f 1/2 ( x ) .
Para distinguir la exponenciación de la composición de funciones, el uso común es escribir el exponente exponencial después del paréntesis que encierra el argumento de la función; es decir, f ( x ) 3 significa ( f ( x )) 3 , y f ( x ) –1 significa 1 / f ( x ) .
Por razones históricas, y debido a la ambigüedad resultante de no incluir argumentos entre paréntesis, un superíndice después de un nombre de función aplicado específicamente a las funciones trigonométricas e hiperbólicas tiene un significado desviado: un exponente positivo aplicado a la abreviatura de la función significa que el resultado es elevado a esa potencia, [42] [43] [44] [45] [46] [47] [48] [20] [40] mientras que un exponente de −1 todavía denota la función inversa. [40] Es decir, sin 2 x es solo una forma abreviada de escribir (sin x ) 2 = sin ( x ) 2 sin usar paréntesis, [16] [49] [50] [51] [52] [53] [ 54] [20] mientras que sen −1 x se refiere a la función inversa del seno , también llamada arcsin x . Cada función trigonométrica e hiperbólica tiene su propio nombre y abreviatura tanto para el recíproco (por ejemplo, 1 / (sin x ) = (sin x ) −1 = sin ( x ) −1 = csc x ), y su inverso (por ejemplo cosh −1 x = arcosh x ). Existe una convención similar para los logaritmos, [40] donde hoy log 2 x generalmente significa (log x ) 2 , no log log x . [40]
Para evitar la ambigüedad, algunos matemáticos [ cita requerida ] eligen usar ∘ para denotar el significado compositivo, escribiendo f ∘ n ( x ) para la n -ésima iteración de la función f ( x ) , como en, por ejemplo, f ∘3 ( x ) que significa f ( f ( f ( x ))) . Con el mismo propósito, Benjamin Peirce [55] [40] utilizó f [ n ] ( x ) mientras que Alfred Pringsheim y Jules Molk sugirieron n f ( x ) en su lugar. [56] [40] [nb 1]
En lenguajes de programación
Los lenguajes de programación generalmente expresan exponenciación como un operador infijo o como una función (prefijo), ya que son notaciones lineales que no admiten superíndices:
x ↑ y
: Algol , Commodore BÁSICO , TRS-80 Nivel II / III BÁSICO . [57] [58]x ^ y
: AWK , BASIC , J , MATLAB , Wolfram Language ( Mathematica ), R , Microsoft Excel , Analytica , TeX (y sus derivados), TI-BASIC , bc (para exponentes enteros), Haskell (para exponentes enteros no negativos), Lua y la mayoría de los sistemas informáticos de álgebra . Los usos conflictivos del símbolo^
incluyen: XOR (en la expansión aritmética POSIX Shell, AWK, C, C ++, C #, D, Go, Java, JavaScript, Perl, PHP, Python, Ruby y Tcl), indirección (Pascal) y concatenación de cadenas (OCaml y ML estándar).x ^^ y
: Haskell (para la base fraccional, exponentes enteros), D .x ** y
: Ada , Z shell , KornShell , Bash , COBOL , CoffeeScript , Fortran , FoxPro , Gnuplot , Groovy , JavaScript , OCaml , F # , Perl , PHP , PL / I , Python , Rexx , Ruby , SAS , Seed7 , Tcl , ABAP , Mercurio , Haskell (para exponentes de punto flotante), Turing , VHDL .pown x y
: F # (para base entera, exponente entero).x⋆y
: APL .
Muchos otros lenguajes de programación carecen de soporte sintáctico para exponenciación, pero proporcionan funciones de biblioteca:
pow(x, y)
: C , C ++ .Math.Pow(x, y)
: C # .math:pow(X, Y)
: Erlang .Math.pow(x, y)
: Java .[Math]::Pow(x, y)
: PowerShell .(expt x y)
: Common Lisp .
Para ciertos exponentes, hay formas especiales de calcular x y mucho más rápido que mediante la exponenciación genérica. Estos casos incluyen pequeños enteros positivos y negativos (prefiera x · x sobre x 2 ; prefiera 1 / x sobre x −1 ) y raíces (prefiera sqrt ( x ) sobre x 0.5 , prefiera cbrt ( x ) sobre x 1/3 ).
No todos los lenguajes de programación se adhieren a la misma convención de asociación para exponenciación: mientras que el lenguaje Wolfram , la Búsqueda de Google y otros usan la asociación por la derecha ( a^b^c
es decir, se evalúa como a^(b^c)
), muchos programas de computadora como Microsoft Office Excel y Matlab se asocian a la izquierda ( a^b^c
es decir, es evaluado como (a^b)^c
).
Ver también
- Función doble exponencial
- Decrecimiento exponencial
- Campo exponencial
- Crecimiento exponencial
- Lista de temas exponenciales
- Exponenciación modular
- Notación cientifica
- Subíndices y superíndices Unicode
- x y = y x
- Cero elevado a cero
Notas
- ↑ La notación n f ( x ) de Alfred Pringsheim y Jules Molk (1907)para denotar composiciones de funciones no debe confundirse con la notación n x de Rudolf von Bitter Rucker (1982), introducida por Hans Maurer (1901) y Reuben Louis Goodstein (1947) para la tetración , o con lanotación n x pre-superíndice de David Patterson Ellerman (1995)para las raíces .
Referencias
- ^ a b "Compendio de símbolos matemáticos" . Bóveda de matemáticas . 2020-03-01 . Consultado el 27 de agosto de 2020 .
- ^ a b c d e Nykamp, Duane. "Reglas básicas para la exponenciación" . Perspectiva matemática . Consultado el 27 de agosto de 2020 .
- ^ Weisstein, Eric W. "Poder" . mathworld.wolfram.com . Consultado el 27 de agosto de 2020 .
- ^ a b Rotman, Joseph J. (2015). Álgebra moderna avanzada, parte 1 . Estudios de Posgrado en Matemáticas . 165 (3ª ed.). Providence, RI: Sociedad Matemática Estadounidense . pag. 130, nota al pie. 4. ISBN 978-1-4704-1554-9.
- ^ Szabó, Árpád (1978). Los inicios de las matemáticas griegas . Biblioteca histórica Synthese. 17 . Traducido por AM Ungar. Dordrecht: D. Reidel . pag. 37 . ISBN 90-277-0819-3.
- ^ a b O'Connor, John J .; Robertson, Edmund F. , "Etimología de algunos términos matemáticos comunes" , archivo MacTutor de Historia de las Matemáticas , Universidad de St Andrews
- ^ Bola, WW Rouse (1915). Una breve reseña de la historia de las matemáticas (6ª ed.). Londres: Macmillan . pag. 38 .
- ↑ Para un análisis más detallado, consulte The Sand Reckoner .
- ^ a b Quinión, Michael . "Zenzizenzizenzic" . Palabras de todo el mundo . Consultado el 16 de abril de 2020 .
- ^ O'Connor, John J .; Robertson, Edmund F. , "Abu'l Hasan ibn Ali al Qalasadi" , archivo MacTutor de Historia de las Matemáticas , Universidad de St Andrews
- ^ Cajori, Florian (1928). Una historia de notaciones matemáticas . 1 . Londres: Open Court Publishing Company . pag. 344 .
- ^ Los primeros usos conocidos de algunas de las palabras de las matemáticas
- ^ Stifel, Michael (1544). Arithmetica integra . Nuremberg: Johannes Petreius . pag. 235v.Stifel estaba tratando de representar convenientemente los términos de las progresiones geométricas. Ideó una notación engorrosa para hacer eso. En Liber III, Caput III: De Algorithmo numerorum Cossicorum (Libro 3, Capítulo 3: Sobre algoritmos de álgebra), en la página 235 en el reverso , presentó la notación para los primeros ocho términos de una progresión geométrica (usando 1 como base) y luego escribió: " Quemadmodum autem hic vides, quemlibet terminum progressionis cossicæ, suum habere exponentem in suo ordine (ut 1ze habet 1. 1ʓ habet 2 & c.) sic quilibet numerus cossicus, servat exponentem suæ denominationis implicite, qui ei serviat & utilis sit , potissimus in multiplicatione & divisione, ut paulo inferius dicam. "(Sin embargo, puedes ver cómo cada término de la progresión tiene su exponente en su orden (como 1ze tiene un 1, 1ʓ tiene un 2, etc.), entonces cada número es implícitamente sujeto al exponente de su denominación, que [a su vez] está sujeto a él y es útil principalmente en multiplicación y división, como mencionaré a continuación.) [Nota: La mayoría de los engorrosos símbolos de Stifel fueron tomados de Christoff Rudolff , quien a su vez los tomó de Leonardo Fibonacci Liber Abaci (1202), donde sirvieron como símbolos taquigráficos para las palabras latinas res / radix (x), census / zensus ( x 2 ) y cubus ( x 3 ).]
- ^ Descartes, René (1637). " La Géométrie ". Discourse de la méthode [...] . Leiden: Jan Maire. pag. 299.
Et aa , ou a 2 , verter multiplicador a par soy mesme; Et a 3 , pour le multiplicador encore une fois par a , & ainsi a l'infini
(Y aa , o un 2 , para multiplicar a por sí mismo; y un 3 , para multiplicarlo una vez más por a , y así hasta el infinito). - ^ El uso más reciente en este sentido citado por el OED es de 1806 ( "involución" . Diccionario de inglés de Oxford (edición en línea). Prensa de la Universidad de Oxford. (Se requiere suscripción o membresía en una institución participante .) ).
- ^ a b Euler, Leonhard (1748). Introductio in analysin infinitorum (en latín). Yo . Lausana: Marc-Michel Bousquet. págs. 69, 98–99.
Primum ergo considerandæ sunt quantitates exponentiales, seu Potestates, quarum Exponens ipse est quantitas variabilis. Perspicuum enim est hujusmodi quantitates ad Functiones algebraicas referri non posse, cum in his Exponentes non nisi constantes locum habeant.
- ^ Hodge, Jonathan K .; Schlicker, Steven; Tormenta de sol, Ted (2014). Álgebra abstracta: un enfoque basado en la investigación . Prensa CRC. pag. 94. ISBN 978-1-4665-6706-1.
- ^ Achatz, Thomas (2005). Matemáticas de taller técnico (3ª ed.). Prensa industrial. pag. 101. ISBN 978-0-8311-3086-2.
- ^ Robinson, Raphael Mitchel (octubre de 1958) [7 de abril de 1958]. "Un informe sobre los números primos de la forma k · 2 n + 1 y sobre los factores de los números de Fermat" (PDF) . Actas de la American Mathematical Society . Universidad de California , Berkeley, California, Estados Unidos. 9 (5): 673–681 [677]. doi : 10.1090 / s0002-9939-1958-0096614-7 . Archivado (PDF) desde el original el 28 de junio de 2020 . Consultado el 28 de junio de 2020 .
- ^ a b c Bronstein, Ilja Nikolaevič ; Semendjajew, Konstantin Adolfovič (1987) [1945]. "2.4.1.1. Definición arithmetischer Ausdrücke" [Definición de expresiones aritméticas]. Escrito en Leipzig, Alemania. En Grosche, Günter; Ziegler, Viktor; Ziegler, Dorothea (eds.). Taschenbuch der Mathematik [ Libro de bolsillo de matemáticas ] (en alemán). 1 . Traducido por Ziegler, Viktor. Weiß, Jürgen (23 ed.). Thun, Suiza / Fráncfort del Meno, Alemania: Verlag Harri Deutsch (y BG Teubner Verlagsgesellschaft , Leipzig). págs. 115–120, 802. ISBN 3-87144-492-8.
Regel 7: Ist F ( A ) Teilzeichenreihe eines arithmetischen Ausdrucks oder einer seiner Abkürzungen und F eine Funktionenkonstante und A eine Zahlenvariable oder Zahlenkonstante, so darf F A dafür geschrieben werden. [Darüber hinaus ist noch die Abkürzung F n ( A ) für ( F ( A )) n üblich. Dabei kann F sowohl Funktionenkonstante als auch Funktionenvariable sein.]
- ^ Olver, Frank WJ; Lozier, Daniel W .; Boisvert, Ronald F .; Clark, Charles W., eds. (2010). Manual de funciones matemáticas del NIST . Instituto Nacional de Estándares y Tecnología (NIST), Departamento de Comercio de EE. UU. , Cambridge University Press . ISBN 978-0-521-19225-5. Señor 2723248 .[1]
- ^ Zeidler, Eberhard ; Schwarz, Hans Rudolf; Hackbusch, Wolfgang ; Luderer, Bernd ; Blath, Jochen; Schied, Alexander; Dempe, Stephan; Wanka, Gert ; Hromkovič, Juraj ; Gottwald, Siegfried (2013) [2012]. Zeidler, Eberhard (ed.). Springer-Handbuch der Mathematik I (en alemán). I (1 ed.). Berlín / Heidelberg, Alemania: Springer Spektrum , Springer Fachmedien Wiesbaden . pag. 590. doi : 10.1007 / 978-3-658-00285-5 . ISBN 978-3-658-00284-8. (xii + 635 páginas)
- ^ a b Anton, Howard; Bivens, Irl; Davis, Stephen (2012). Cálculo: principios trascendentales (9ª ed.). John Wiley e hijos. pag. 28 .
- ^ a b Denlinger, Charles G. (2011). Elementos de análisis real . Jones y Bartlett. págs. 278-283. ISBN 978-0-7637-7947-4.
- ^ Cormen, Thomas H .; Leiserson, Charles E .; Rivest, Ronald L .; Stein, Clifford (2001). Introducción a los algoritmos (segunda ed.). Prensa del MIT . ISBN 978-0-262-03293-3. Recurso en línea Archivado el 30 de septiembre de 2007 en Wayback Machine.
- ^ Cull, Paul; Flahive, Mary ; Robson, Robby (2005). Ecuaciones en diferencias: de los conejos al caos ( Edición de textos de pregrado en matemáticas ). Saltador. ISBN 978-0-387-23234-8.Definido en la p. 351
- ^ " Raíz principal de la unidad ", MathWorld.
- ^ El número complejo a una potencia compleja puede ser real en Cut The Knot da algunas referencias a i i .
- ^ Steiner, J .; Clausen, T .; Abel, Niels Henrik (1827). "Aufgaben und Lehrsätze, erstere aufzulösen, letztere zu beweisen" [Problemas y proposiciones, las primeras para resolver, las últimas para probar]. Journal für die reine und angewandte Mathematik . 2 : 286-287.
- ^ Bourbaki, Nicolas (1970). Algèbre . Saltador., I.2
- ^ Bloom, David M. (1979). Álgebra lineal y geometría . pag. 45 . ISBN 978-0-521-29324-2.
- ^ Capítulo 1, Álgebra lineal elemental, 8E, Howard Anton
- ^ Strang, Gilbert (1988), Álgebra lineal y sus aplicaciones (3a ed.), Brooks-Cole, Capítulo 5.
- ^ E. Hille, RS Phillips: Análisis funcional y semigrupos . Sociedad Americana de Matemáticas, 1975.
- ^ Nicolas Bourbaki, Elementos de las matemáticas, Teoría de conjuntos, Springer-Verlag, 2004, III.§3.5.
- ↑ Nicolas Bourbaki, Topologie générale , V.4.2.
- ^ Gordon, DM (1998). "Una encuesta de métodos de exponenciación rápida" (PDF) . Revista de algoritmos . 27 : 129-146. CiteSeerX 10.1.1.17.7076 . doi : 10.1006 / jagm.1997.0913 .
- ^ a b Herschel, John Frederick William (1813) [12 de noviembre de 1812]. "Sobre una aplicación notable del teorema de Cotes" . Transacciones filosóficas de la Royal Society de Londres . Londres: Royal Society of London , impreso por W. Bulmer and Co., Cleveland-Row, St. James's, vendido por G. y W. Nicol, Pall-Mall. 103 (Parte 1): 8-26 [10]. doi : 10.1098 / rstl.1813.0005 . JSTOR 107384 . S2CID 118124706 .
- ^ a b c Herschel, John Frederick William (1820). "Parte III. Sección I. Ejemplos del método directo de diferencias" . Una colección de ejemplos de las aplicaciones del cálculo de diferencias finitas . Cambridge, Reino Unido: impreso por J. Smith, vendido por J. Deighton & sons. págs. 1-13 [5-6]. Archivado desde el original el 4 de agosto de 2020 . Consultado el 4 de agosto de 2020 . [2] (NB. Aquí, Herschel se refiere a su trabajo de 1813 y menciona el trabajo más antiguo de Hans Heinrich Bürmann ).
- ^ a b c d e f g h yo Cajori, Florian (1952) [marzo de 1929]. "§472. El poder de un logaritmo / §473. Logaritmos iterados / §533. Notación de John Herschel para funciones inversas / §535. Persistencia de notaciones rivales para funciones inversas / §537. Potencias de funciones trigonométricas". Una historia de notaciones matemáticas . 2 (3ª edición corregida del número de 1929, 2ª ed.). Chicago, Estados Unidos: Editorial Open Court . págs. 108, 176–179, 336, 346. ISBN 978-1-60206-714-1. Consultado el 18 de enero de 2016 .
[...] §473. Logaritmos iterados [...] Observamos aquí el simbolismo utilizado por Pringsheim y Molk en su artículo conjunto de la Encyclopédie : " 2 log b a = log b (log b a ), ..., k +1 log b a = log b ( k log b a ) ". [a] [...] §533. La notación de John Herschel para funciones inversas, sen −1 x , tan −1 x , etc., fue publicada por él en Philosophical Transactions of London , para el año 1813. Dice ( p. 10 ): "Esta notación cos . −1 e no debe entenderse en el sentido de 1 / cos. E , sino que lo que generalmente se escribe así, arc (cos. = E ). " Admite que algunos autores utilizan cos. m A para (cos. A ) m , pero justifica su propia notación señalando que dado que d 2 x , Δ 3 x , Σ 2 x significan dd ' x , ΔΔΔ x , ΣΣ x , debemos escribir sin. 2 x para pecado. x , log. 3 x para log.log.log. x . Así como escribimos d - n V = ∫ n V, podemos escribir de manera similar sin. −1 x = arco (sin. = X ), log. −1 x . = C x . Algunos años después, Herschel explicó que en 1813 usó f n ( x ), f - n ( x ), sin. −1 x , etc. ", como supuso entonces por primera vez. Sin embargo, el trabajo de un analista alemán, Burmann , ha llegado a su conocimiento dentro de estos pocos meses, en los que el mismo se explica en una fecha considerablemente anterior Él [Burmann], sin embargo, no parece haber notado la conveniencia de aplicar esta idea a las funciones inversas tan −1 , etc., ni parece en absoluto consciente del cálculo inverso de funciones a las que da lugar. " Herschel añade: "La simetría de esta notación y, sobre todo, las nuevas y más amplias visiones que abre sobre la naturaleza de las operaciones analíticas parecen autorizar su adopción universal". [b] [...] §535. Persistencia de notaciones rivales para función inversa. - [...] El uso de la notación de Herschel sufrió un ligero cambio en los libros de Benjamin Peirce , para eliminar la principal objeción a ellos; Peirce escribió: "cos [-1] x ", "log [-1] x ". [c] [...] §537. Potencias de las funciones trigonométricas. —Se han utilizado tres notaciones principales para denotar, digamos, el cuadrado de sen x , a saber, (sen x ) 2 , sen x 2 , sen 2 x . La notación predominante en la actualidad es sen 2 x , aunque es menos probable que la primera se malinterprete. En el caso de sen 2 x se sugieren dos interpretaciones; primero, sen x · sen x ; segundo, [d] sen (sen x ). Como las funciones del último tipo no suelen presentarse por sí mismas, el peligro de una mala interpretación es mucho menor que en el caso de log 2 x , donde log x · log x y log (log x ) son frecuentes en el análisis. En su Introductio in analysin (1748), Euler [e] escribe (cos. Z ) n , pero en un artículo de 1754 adopta sen ψ 3 por (sen ψ ) 3 [...] Los paréntesis como en (sen x ) n fueron preferidos por Karsten , [f] Scherffer
(xviii + 367 + 1 páginas incluyendo 1 página de adenda) (NB. ISBN y enlace para reimpresión de la 2da edición por Cosimo, Inc., Nueva York, EE. UU., 2013). , [g] Frisius , [h] Abel (en algunos pasajes), [i] Ohm . [j] Pasó en desuso durante el siglo XIX. [...] La designación sen x 2 para (sen x ) 2 se encuentra en los escritos de Langrange , Lorenz , Lacroix , Vieth , Stolz ; fue recomendado por Gauss . La notación sen n x para (sen x ) n se ha utilizado ampliamente y ahora es la predominante. Se encuentra, por ejemplo, en Cagnoli , [k] DeMorgan , [l] Serret , [m] Todhunter , [n] Hobson , [o] Toledo , [p] Rothe . [q] [...] - ^ Peano, Giuseppe (1903). Formulaire mathématique (en francés). IV . pag. 229.
- ^ Cagnoli, Antonio (1786). Traité de Trigonométrie (en francés). París: trad. par Chompré. pag. 20.
- ^ De Morgan, Augustus (1849). Trigonometría y álgebra doble . Londres. pag. 35.
- ^ Serret, Joseph Alfred (1857). Traité de Trigonométrie (en francés) (2ª ed.). París. pag. 12.
- ^ Todhunter, Isaac (1876). Trigonometría plana (6ª ed.). Londres. pag. 19.
- ^ Hobson, Ernest William (1911). Tratado de trigonometría plana . Cambridge, Reino Unido. pag. 19.
- ^ de Toledo, Luis Octavio (1917). Tradado de Trigonometria (en español) (3ª ed.). Madrid. pag. 64.
- ^ Rothe, Hermann (1921). Vorlesungen über höhere Mathematik (en alemán). Viena. pag. 261.
- ^ Karsten, Wenceslaus Johann Gustav (1760). "Sectio XIII. De sectionibus angulorum et arcuum circularium". Mathesis therapytica Elementaris Atque Sublimior (en latín). Rostock. pag. 511 . Consultado el 4 de agosto de 2020 . [3]
- ^ Scherffer, Karl "Carolo" (1772). Institutionum analyticarum, pars secunda (en latín). Viena. pag. 144.
- ^ Frisius (Frisii), Paulli (1782). Operum tomus primus (en latín). Milano. pag. 303.
- ^ Abel, Niels Henrik (1826). Journal für die reine und angewandte Mathematik (en alemán). Berlín: August Leopold Crelle . I : 318–337; Falta o vacío
|title=
( ayuda )Abel, Niels Henrik (1827). Journal für die reine und angewandte Mathematik (en alemán). Berlín: August Leopold Crelle . II : 26. Falta o vacío|title=
( ayuda ) - ^ Ohm, Martin (1829). System der Mathematik (en alemán). Berlina. pag. 21. Parte 3.
- ^ Stibitz, George Robert ; Larrivee, Jules A. (1957). Escrito en Underhill, Vermont, EE. UU. Matemáticas y Computación (1 ed.). Nueva York, EE. UU. / Toronto, Canadá / Londres, Reino Unido: McGraw-Hill Book Company, Inc. p. 169. LCCN 56-10331 .(10 + 228 páginas) (NB. Stibitz usa paréntesis incluso junto con funciones trigonométricas (como ) para evitar la ambigüedad de la notación).
(cos u)n
cosn u
- ^ Peirce, Benjamin (1852). Curvas, funciones y fuerzas . I (nueva ed.). Boston, Estados Unidos. pag. 203.
- ^ Pringsheim, Alfred ; Molk, Jules (1907). Encyclopédie des sciences mathématiques pures et appliquées (en francés). Yo . pag. 195. Parte I.
- ^ Daneliuk, Timothy "Tim" A. (9 de agosto de 1982). "BASCOM - Un compilador BÁSICO para TRS-80 I y II" . InfoWorld . Reseñas de software. 4 (31). Popular Computing, Inc. págs. 41–42. Archivado desde el original el 7 de febrero de 2020 . Consultado el 6 de febrero de 2020 .
[...] Si la cuadratura se logra con la función de exponenciación (flecha hacia arriba) de TRS-80 BASIC , el tiempo de ejecución del intérprete es de 22 minutos 20 segundos y el tiempo de ejecución compilado es de 20 minutos 3 segundos. [...]
- ^ "80 Contenidos" . 80 Micro . 1001001, Inc. (45): 5. Octubre de 1983. ISSN 0744-7868 . Consultado el 6 de febrero de 2020 .
[...] El corchete izquierdo, [, reemplaza la flecha hacia arriba utilizada por RadioShack para indicar exponenciación en nuestras impresiones. Al ingresar a programas publicados en 80 Micro , debe realizar este cambio. [...]
(NB. En el punto de código 5Bh, el conjunto de caracteres TRS-80 tiene un símbolo de flecha hacia arriba "↑" en lugar del corchete ASCII izquierdo "[").
enlaces externos
- Leyes de exponentes con derivación y ejemplos