En matemáticas , específicamente en álgebra conmutativa , los polinomios simétricos de suma de potencias son un tipo de bloque de construcción básico para polinomios simétricos , en el sentido de que cada polinomio simétrico con coeficientes racionales se puede expresar como una suma y diferencia de productos de polinomios simétricos de suma de potencia con coeficientes racionales. Sin embargo, no todos los polinomios simétricos con coeficientes integrales se generan mediante combinaciones integrales de productos de polinomios de suma de potencias: son un conjunto generador sobre los racionales, pero no sobre los enteros.
Definición
El polinomio simétrico de suma de potencias de grado k envariables x 1 , ..., x n , escrito p k para k = 0, 1, 2, ..., es la suma de todas las k- ésimas potencias de las variables. Formalmente,
Los primeros de estos polinomios son
Por tanto, para cada entero no negativo , existe exactamente un polinomio simétrico de suma de potencias de grado en variables.
El anillo polinomial formado tomando todas las combinaciones lineales integrales de productos de los polinomios simétricos de suma de potencia es un anillo conmutativo .
Ejemplos de
A continuación se enumeran los polinomios simétricos de suma de potencia de grados positivos hasta n para los primeros tres valores positivos de En cada caso, es uno de los polinomios. La lista sube al grado n porque los polinomios simétricos de suma de potencias de grados 1 an son básicos en el sentido del teorema principal que se indica a continuación.
Para n = 1:
Para n = 2:
Para n = 3:
Propiedades
El conjunto de polinomios simétricos de suma de potencias de grados 1, 2, ..., n en n variables genera el anillo de polinomios simétricos en n variables. Más específicamente:
- Teorema . El anillo de polinomios simétricos con coeficientes racionales es igual al anillo polinomial racional Lo mismo es cierto si los coeficientes se toman en cualquier campo cuya característica sea 0.
Sin embargo, esto no es cierto si los coeficientes deben ser números enteros. Por ejemplo, para n = 2, el polinomio simétrico
tiene la expresión
que involucra fracciones. Según el teorema, esta es la única forma de representaren términos de p 1 y p 2 . Por lo tanto, P no pertenece al anillo polinomial integralPara otro ejemplo, los polinomios simétricos elementales e k , expresados como polinomios en los polinomios de suma de potencias, no todos tienen coeficientes integrales. Por ejemplo,
El teorema también es falso si el campo tiene una característica diferente de 0. Por ejemplo, si el campo F tiene la característica 2, entonces, entonces p 1 y p 2 no pueden generar e 2 = x 1 x 2 .
Bosquejo de una prueba parcial del teorema : según las identidades de Newton, las sumas de potencia son funciones de los polinomios simétricos elementales; esto está implícito en la siguiente relación de recurrencia , aunque la función explícita que da las sumas de potencia en términos de e j es complicada:
Reescribiendo la misma recurrencia, uno tiene los polinomios simétricos elementales en términos de sumas de potencia (también implícitamente, la fórmula explícita es complicada):
Esto implica que los polinomios elementales son combinaciones lineales racionales, aunque no integrales, de los polinomios de suma de potencias de grados 1, ..., n . Dado que los polinomios simétricos elementales son una base algebraica para todos los polinomios simétricos con coeficientes en un campo, se deduce que cada polinomio simétrico en n variables es una función polinomialde los polinomios simétricos de suma de potencias p 1 , ..., p n . Es decir, el anillo de polinomios simétricos está contenido en el anillo generado por las sumas de potencia, Debido a que cada polinomio de suma de potencias es simétrico, los dos anillos son iguales.
(Esto no muestra cómo probar que el polinomio f es único).
Para otro sistema de polinomios simétricos con propiedades similares, vea polinomios simétricos homogéneos completos .
Referencias
- Macdonald, IG (1979), Funciones simétricas y polinomios de pasillo . Monografías matemáticas de Oxford. Oxford: Clarendon Press.
- Macdonald, IG (1995), Symmetric Functions and Hall Polynomials , segunda ed. Oxford: Clarendon Press. ISBN 0-19-850450-0 (rústica, 1998).
- Richard P. Stanley (1999), Combinatoria enumerativa , vol. 2. Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 0-521-56069-1