Un ventilador de expansión supersónico, técnicamente conocido como ventilador de expansión de Prandtl-Meyer , una onda simple bidimensional , es un proceso de expansión centrado que ocurre cuando un flujo supersónico gira alrededor de una esquina convexa . El abanico consta de un número infinito de ondas Mach , que divergen de una esquina afilada. Cuando un flujo gira alrededor de una esquina suave y circular, estas ondas se pueden extender hacia atrás para reunirse en un punto.
Cada ola en el ventilador de expansión hace girar el flujo gradualmente (en pequeños pasos). Es físicamente imposible que el flujo gire a través de una sola onda de "choque" porque esto violaría la segunda ley de la termodinámica . [1]
A través del ventilador de expansión, el flujo se acelera (la velocidad aumenta) y el número de Mach aumenta, mientras que la presión estática , la temperatura y la densidad disminuyen. Dado que el proceso es isentrópico , las propiedades de estancamiento (por ejemplo, la presión total y la temperatura total) permanecen constantes en todo el ventilador.
La teoría fue descrita por Theodor Meyer en su disertación de tesis en 1908, junto con su asesor Ludwig Prandtl , quien ya había discutido el problema un año antes. [2] [3]
Propiedades de flujo
El ventilador de expansión consta de un número infinito de ondas de expansión o líneas de Mach . [4] La primera línea de Mach forma un ángulo con respecto a la dirección del flujo, y la última línea de Mach forma un ángulo con respecto a la dirección final del flujo. Dado que el flujo gira en pequeños ángulos y los cambios en cada onda de expansión son pequeños, todo el proceso es isoentrópico. [1] Esto simplifica significativamente los cálculos de las propiedades de flujo. Puesto que el flujo es isentrópico, los estancamiento propiedades como la presión de estancamiento (), temperatura de estancamiento () y densidad de estancamiento () permanecer constante. Las propiedades estáticas finales son una función del número de Mach de flujo final () y puede relacionarse con las condiciones de flujo inicial de la siguiente manera,
El número de Mach después del turno () está relacionado con el número de Mach inicial () y el ángulo de giro () por,
dónde, es la función de Prandtl-Meyer . Esta función determina el ángulo a través del cual un flujo sónico ( M = 1) debe girar para alcanzar un número de Mach particular (M). Matemáticamente,
Por convención,
Por lo tanto, dado el número de Mach inicial (), se puede calcular y usando el ángulo de giro encontrar . Del valor de se puede obtener el número Mach final () y las otras propiedades de flujo.
Ángulo de giro máximo
Como el número de Mach varía de 1 a , toma valores de 0 a , dónde
Esto pone un límite a cuánto puede pasar un flujo supersónico, con el ángulo de giro máximo dado por,
También se puede ver de la siguiente manera. Un flujo tiene que girar para poder satisfacer las condiciones de contorno. En un flujo ideal, hay dos tipos de condiciones de contorno que el flujo debe satisfacer,
- Condición de límite de velocidad, que dicta que el componente de la velocidad de flujo normal a la pared sea cero. También se conoce como condición de límite de no penetración.
- Condición de límite de presión, que establece que no puede haber una discontinuidad en la presión estática dentro del flujo (ya que no hay choques en el flujo).
Si el flujo gira lo suficiente como para volverse paralelo a la pared, no debemos preocuparnos por la condición de límite de presión. Sin embargo, a medida que el flujo gira, su presión estática disminuye (como se describió anteriormente). Si no hay suficiente presión para empezar, el flujo no podrá completar el giro y no será paralelo a la pared. Esto se muestra como el ángulo máximo a través del cual puede girar un flujo. Cuanto menor sea el número de Mach para empezar (es decir, pequeño), mayor es el ángulo máximo a través del cual puede girar el flujo.
La línea de corriente que separa la dirección del flujo final y la pared se conoce como corriente de deslizamiento (que se muestra como la línea discontinua en la figura). A través de esta línea hay un salto en la temperatura, densidad y componente tangencial de la velocidad (el componente normal es cero). Más allá de la estela, el flujo está estancado (lo que satisface automáticamente la condición de límite de velocidad en la pared). En caso de flujo real, se observa una capa de cizallamiento en lugar de una corriente de deslizamiento, debido a la condición de límite de no deslizamiento adicional .
Notas
- ^ a b
Imposibilidad de expandir un flujo a través de una sola onda de "choque": considere el escenario que se muestra en la figura adyacente. A medida que gira un flujo supersónico, el componente normal de la velocidad aumenta (), mientras que la componente tangencial permanece constante (). El cambio correspondiente es la entropía () se puede expresar de la siguiente manera,
dónde, es la constante universal de los gases, es la relación de capacidades caloríficas específicas, es la densidad estática, es la presión estática, es la entropía, y es el componente de la velocidad del flujo normal al "choque". El sufijo "1" y "2" se refieren a las condiciones iniciales y finales, respectivamente.
Desde , esto significaría que . Dado que esto no es posible, significa que es imposible convertir un flujo a través de una sola onda de choque. El argumento puede extenderse aún más para mostrar que tal proceso de expansión puede ocurrir solo si consideramos un giro a través de un número infinito de ondas de expansión en el límite.. En consecuencia, un proceso de expansión es un proceso isentrópico .
- ^ Meyer, T. (1908). Über zweidimensionale Bewegungsvorgänge in einem Gas, das mit Überschallgeschwindigkeit strömt (Tesis doctoral) (en alemán). Georg-August Universität, Göttingen. OCLC 77709738 .
- ^ Prandtl, L. (1907). "Neue Untersuchungen über die strömende Bewegung der Gase und Dämpfe". Physikalische Zeitschrift (en alemán). 8 : 23-30. Reimpreso en Riegels, FW, ed. (1961). Ludwig Prandtl Gesammelte Abhandlungen . Berlín: Springer. doi : 10.1007 / 978-3-662-11836-8_78 .
- ^ Líneas de Mach (cono) y ángulo de Mach:
Las líneas de Mach son un concepto que generalmente se encuentra en flujos supersónicos 2-D (es decir,). Son un par de líneas delimitadas que separan la región de flujo perturbado de la parte no perturbada del flujo. Estas líneas ocurren en pares y están orientadas en ángulo.
con respecto a la dirección del movimiento (también conocido como ángulo de Mach ). En el caso del campo de flujo 3-D, estas líneas forman una superficie conocida como cono de Mach , con el ángulo de Mach como la mitad del ángulo del cono.
Para comprender mejor el concepto, considere el caso esbozado en la figura. Sabemos que cuando un objeto se mueve en un flujo, provoca perturbaciones de presión (que viajan a la velocidad del sonido, también conocidas como ondas Mach ). La figura muestra un objeto que se mueve del punto A al B a lo largo de la línea AB a velocidades supersónicas (). Para cuando el objeto alcanza el punto B, las perturbaciones de presión desde el punto A han recorrido una distancia c · t y ahora están en la circunferencia del círculo (con el centro en el punto A). Hay infinitos círculos de este tipo con su centro en la línea AB, cada uno de los cuales representa la ubicación de las perturbaciones debidas al movimiento del objeto. Las líneas que se propagan hacia afuera desde el punto B y tangentes a todos estos círculos se conocen como líneas de Mach.
Nota: Estos conceptos tienen un significado físico solo para flujos supersónicos (). En caso de flujos subsónicos, las perturbaciones viajarán más rápido que la fuente y el argumento de la La función será mayor que uno.
Ver también
Referencias
- Liepmann, Hans W .; Roshko, A. (2001) [1957]. Elementos de Gasdinámica . Publicaciones de Dover . ISBN 0-486-41963-0.
- Von Mises, Richard (2004) [1958]. Teoría matemática del flujo de fluidos compresibles . Publicaciones de Dover . ISBN 0-486-43941-0.
- Courant, Richard; Friedrichs, KO (1999) [1948]. Flujo supersónico y ondas de choque . Springer Science + Business Media . ISBN 0387902325.
- Anderson, John D. Jr. (enero de 2001) [1984]. Fundamentos de Aerodinámica (3ª ed.). Ciencias / Ingeniería / Matemáticas de McGraw-Hill . ISBN 0-07-237335-0.
- Shapiro, Ascher H. (1953). La dinámica y termodinámica del flujo de fluido compresible, volumen 1 . Prensa de Ronald . ISBN 978-0-471-06691-0.
enlaces externos
- Ventilador de expansión ( NASA )
- Calculadora de ventilador de expansión Prandtl-Meyer ( subprograma Java ).