En matemáticas , un álgebra anterior a Lie es una estructura algebraica en un espacio vectorial que describe algunas propiedades de objetos como árboles enraizados y campos vectoriales en un espacio afín .
La noción de álgebra anterior a Lie ha sido introducida por Murray Gerstenhaber en su trabajo sobre deformaciones de álgebras.
Las álgebras anteriores a Lie se han considerado con otros nombres, entre los que se pueden citar álgebras simétricas a la izquierda, álgebras simétricas a la derecha o álgebras de Vinberg.
Definición
Un álgebra anterior a la mentira es un espacio vectorial con un mapa bilineal , satisfaciendo la relación
Esta identidad puede verse como la invariancia del asociador bajo el intercambio de las dos variables y .
Cada álgebra asociativa es, por lo tanto, también un álgebra anterior a Lie, ya que el asociador se desvanece de manera idéntica. Aunque es más débil que la asociatividad, la relación definitoria de un álgebra anterior a Lie todavía implica que el conmutadores un soporte de mentira. En particular, la identidad de Jacobi para el conmutador se deriva del ciclo de términos en la relación definitoria para álgebras anteriores a Lie, arriba.
Ejemplos de
Campos vectoriales en un espacio afín
Dejar ser un barrio abierto de , parametrizado por variables . Campos vectoriales dados, definimos .
La diferencia entre y , es que es simétrico en y . Por lo tanto define una estructura de álgebra anterior a la mentira.
Dado un colector y homeomorfismos de a vecindarios abiertos superpuestos de , cada uno define una estructura de álgebra anterior a la mentira en campos vectoriales definidos en la superposición. Mientras que no necesita estar de acuerdo con , sus conmutadores están de acuerdo: , el corchete de Lie de y .
Árboles enraizados
Dejar ser el espacio vectorial libre abarcado por todos los árboles enraizados.
Se puede introducir un producto bilineal. en como sigue. Dejar y Ser dos árboles enraizados.
dónde es el árbol enraizado que se obtiene sumando a la unión disjunta de y un borde que va desde el vértice de al vértice de la raíz de .
Luego es un libre de álgebra pre-Lie en un generador. De manera más general, el álgebra previa a la mentira libre en cualquier conjunto de generadores se construye de la misma manera a partir de árboles con cada vértice etiquetado por uno de los generadores.
Referencias
- Chapoton, F .; Livernet, M. (2001), "Álgebras de Pre-Lie y los árboles enraizados operados", Avisos internacionales de investigación matemática , 8 (8): 395–408, doi : 10.1155 / S1073792801000198 , MR 1827084.
- Szczesny, M. (2010), Álgebras de Pre-Lie y categorías de incidencia de árboles con raíces coloreadas , 1007 , p. 4784, arXiv : 1007.4784 , código Bib : 2010arXiv1007.4784S.