En matemáticas , la idea de un objeto libre es uno de los conceptos básicos del álgebra abstracta . Es parte del álgebra universal , en el sentido de que se relaciona con todos los tipos de estructura algebraica (con operaciones finitarias ). También tiene una formulación en términos de teoría de categorías , aunque en términos aún más abstractos. Los ejemplos incluyen grupos libres , álgebras tensoriales o celosías libres . De manera informal, un objeto libre sobre un conjunto A puede considerarse como una estructura algebraica "genérica" sobre A: las únicas ecuaciones que se mantienen entre los elementos del objeto libre son las que se derivan de los axiomas definitorios de la estructura algebraica.
Definición
Los objetos libres son la generalización directa a categorías de la noción de base en un espacio vectorial. Una función lineal u : E 1 → E 2 entre espacios vectoriales está completamente determinada por sus valores sobre la base del espacio vectorial E 1 . La siguiente definición traduce esto a cualquier categoría.
Una categoría concreta es una categoría que está dotada de un functor fiel a Set , la categoría de sets . Sea C una categoría concreta con un functor fiel F : C → Conjunto . Sea X un objeto en Conjunto (es decir, X es un conjunto, aquí llamado base ), sea A un objeto en C , y sea i : X → F ( A ) un mapa inyectivo entre los conjuntos X y F ( A ) (llamada inserción canónica ). Entonces se dice que A es el objeto libre en X (con respecto a i ) si y solo si satisface la siguiente propiedad universal :
- para cualquier objeto B en C y cualquier mapa entre conjuntos f : X → F ( B ) , existe un morfismo único g : A → B en C tal que f = F ( g ) ∘ i . Es decir, el siguiente diagrama conmuta:
De esta manera, el functor libre que construye el objeto libre A a partir del conjunto X se vuelve contiguo al functor olvidadizo .
Ejemplos de
La creación de objetos libres se realiza en dos pasos. Para las álgebras que se ajustan a la ley asociativa , el primer paso es considerar la colección de todas las palabras posibles formadas a partir de un alfabeto . Luego, se impone un conjunto de relaciones de equivalencia sobre las palabras, donde las relaciones son las relaciones definitorias del objeto algebraico en cuestión. El objeto libre entonces consiste en el conjunto de clases de equivalencia .
Considere, por ejemplo, la construcción del grupo libre en dos generadores. Uno comienza con un alfabeto que consta de cinco letras.. En el primer paso, todavía no hay ningún significado asignado a las "letras" o ; estos se darán más adelante, en el segundo paso. Por lo tanto, se podría comenzar igualmente con el alfabeto de cinco letras que es. En este ejemplo, el conjunto de todas las palabras o cadenasincluirá cadenas como aebecede y abdc , y así sucesivamente, de longitud finita arbitraria, con las letras dispuestas en cada orden posible.
En el siguiente paso, se impone un conjunto de relaciones de equivalencia. Las relaciones de equivalencia para un grupo son las de multiplicación por la identidad,, y la multiplicación de inversas: . Aplicando estas relaciones a las cadenas anteriores, se obtiene
donde se entendió que es un sustituto de , y es un sustituto de , tiempo es el elemento de identidad. Del mismo modo, uno tiene
Denotando la relación de equivalencia o congruencia por, el objeto libre es entonces la colección de clases de equivalencia de palabras. Así, en este ejemplo, el grupo libre en dos generadores es el cociente
Esto a menudo se escribe como dónde es el conjunto de todas las palabras, y es la clase de equivalencia de la identidad, después de que se imponen las relaciones que definen un grupo.
Un ejemplo más simple son los monoides libres . El monoide libre en un conjunto X , es el monoide de todas las cadenas finitas que usan X como alfabeto, con la operación de concatenación de cadenas. La identidad es la cadena vacía. En esencia, el monoide libre es simplemente el conjunto de todas las palabras, sin que se impongan relaciones de equivalencia. Este ejemplo se desarrolla más en el artículo sobre la estrella de Kleene .
Caso general
En el caso general, las relaciones algebraicas no necesitan ser asociativas, en cuyo caso el punto de partida no es el conjunto de todas las palabras, sino cadenas puntuadas con paréntesis, que se utilizan para indicar las agrupaciones no asociativas de letras. Tal cadena puede representarse de manera equivalente por un árbol binario o un magma libre ; las hojas del árbol son las letras del alfabeto.
Las relaciones algebraicas pueden entonces ser aridades generales o relaciones finitarias en las hojas del árbol. En lugar de comenzar con la colección de todas las cadenas posibles entre paréntesis, puede ser más conveniente comenzar con el universo Herbrand . Describir o enumerar correctamente el contenido de un objeto libre puede ser fácil o difícil, dependiendo del objeto algebraico particular en cuestión. Por ejemplo, el grupo libre en dos generadores se describe fácilmente. Por el contrario, se sabe poco o nada sobre la estructura de las álgebras de Heyting libres en más de un generador. [1] El problema de determinar si dos cadenas diferentes pertenecen a la misma clase de equivalencia se conoce como problema verbal .
Como sugieren los ejemplos, los objetos libres parecen construcciones de sintaxis ; uno puede revertir eso hasta cierto punto diciendo que los usos principales de la sintaxis se pueden explicar y caracterizar como objetos libres, de una manera que hace que la "puntuación" aparentemente pesada sea explicable (y más memorable). [ aclaración necesaria ]
Álgebras universales libres
Dejar ser cualquier conjunto, y dejar ser una estructura algebraica de tipo generado por . Deje que el conjunto subyacente de esta estructura algebraica, a veces llamado su universo, ser , y deja ser una función. Nosotros decimos eso (o informalmente solo ) es un álgebra libre (de tipo) En el set de generadores libres si, para cada álgebra de tipo y cada función , dónde es un universo de , existe un homomorfismo único tal que
Functor libre
La configuración más general para un objeto libre es en la teoría de categorías , donde se define un funtor , el funtor libre , que es el adjunto izquierdo al funtor olvidadizo .
Considere la categoría C de estructuras algebraicas ; estos se pueden considerar como conjuntos más operaciones, que obedecen a algunas leyes. Esta categoría tiene un functor,, el functor olvidadizo , que mapea objetos y funciones en C a Set , la categoría de conjuntos . El functor olvidadizo es muy simple: simplemente ignora todas las operaciones.
El funtor libre F , cuando existe, es el adjunto izquierdo de T . Es decir,toma conjuntos X en Set a su correspondiente libre de objetos F ( X ) en la categoría C . El conjunto X puede pensarse como el conjunto de "generadores" del objeto libre F ( X ).
Para que el functor libre sea un adjunto izquierdo, también se debe tener un morfismo de conjunto. Más explícitamente, F es, hasta los isomorfismos en C , caracterizado por la siguiente propiedad universal :
- Siempre que A es un álgebra en C , y g : X → U ( A ) es una función (un morfismo en la categoría de conjuntos), entonces hay un C -morfismo único h : F ( X ) → A tal que U ( h ) ∘ η = g .
Concretamente, esto envía un conjunto al objeto libre en ese conjunto; es la "inclusión de una base". Abusar de la notación,(esto abusa de la notación porque X es un conjunto, mientras que F ( X ) es un álgebra; correctamente, es).
La transformación natural se llama la unidad ; junto con el contador , se puede construir una T-álgebra y, por tanto, una mónada .
El functor cofree es el adjunto correcto al functor olvidadizo.
Existencia
Hay teoremas generales de existencia que se aplican; el más básico de ellos garantiza que
- Siempre que C es una variedad , a continuación, para cada conjunto X hay un objeto libre F ( X ) en C .
Aquí, una variedad es sinónimo de una categoría algebraica finitaria , lo que implica que el conjunto de relaciones es finitario y algebraico porque es monádico sobre el conjunto .
Caso general
Otros tipos de olvido también dan lugar a objetos muy parecidos a los objetos libres, en el sentido de que se dejan adjuntos a un functor olvidadizo, no necesariamente a conjuntos.
Por ejemplo, la construcción del álgebra tensorial en un espacio vectorial es el adjunto izquierdo al funtor en álgebras asociativas que ignora la estructura del álgebra. Por lo tanto, a menudo también se le llama álgebra libre . Asimismo, el álgebra simétrica y el álgebra exterior son álgebras simétricas y antisimétricas libres en un espacio vectorial.
Lista de objetos libres
Los tipos específicos de objetos gratuitos incluyen:
- álgebra libre
- álgebra asociativa libre
- álgebra conmutativa libre
- categoría libre
- categoría monoidal estricta libre
- grupo libre
- grupo abeliano libre
- libre grupo parcialmente conmutativo
- álgebra de Kleene gratis
- celosía libre
- álgebra booleana libre
- celosía distributiva libre
- álgebra de Heyting gratis
- celosía modular libre
- álgebra de mentira libre
- magma libre
- módulo libre , y en particular, espacio vectorial
- monoide libre
- monoide conmutativo libre
- monoide parcialmente conmutativo libre
- anillo gratis
- semigrupo libre
- semired libre
- semiring conmutativo gratuito
- teoría libre
- álgebra de término
- espacio discreto
Ver también
- Grupo electrógeno
Notas
- ^ Peter T. Johnstone, Stone Spaces , (1982) Cambridge University Press, ISBN 0-521-23893-5 . (Un tratamiento del álgebra de Heyting libre de un generador se da en el capítulo 1, sección 4.11)